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 » La surface 



où (r,, w.,. w.^ sont regardées comme des coordonnées recldignes, est, dans le 

 domaine défini par w^^o, «'2=0, w^'to, une surjace convexe qui tourne sa 

 convexité du côté opposé à l'origine. 



)) De plus. S! R , . Kj , K:, sont indépendants, cette surface ne contient jamais 

 trois points en ligne droite. Le déterminant 



et les deux déterminants analogues, où le premier indire est remplacé successi- 

 vement par les indices 2 cl 3, sont alors positifs. En outre, 



'^ 1 2 1 ^^122 



et tous les déterminants correspondants sont négatifs. 



» En particulier on lire de là : 



» K,, K3 étant des corps convexes quelconques, qui ne sont pas homothe- 

 tiques, on a toujours les inégalités 



A I H A 1 22 <C A' , ^ , A , , 2 A222 <C A^ ...j . 



» Ici A,,( est le volume de K,. En prenant pour K2 spécialement une 

 sphère de rayon i, la qiiantilc 3 A, ,2 sera Vaire de la surface de R,, et en 

 outre 3A,22 sera la courbure moyenne totale de celte surface; enfin on aura 



A222= -X' Ofï est ainsi conduit au théorème suivant : 



» Parmi tous les corps convexes ayant une surface de même grandeur, la 

 sphère a : 1° le plus grand produit du volume et de la courbure moyenne, et 

 2° la plus petite courbure moyenne, d'où résulte qu'elle a enfin le plus grand 

 volume. 



» Une autre conséquence de ces dernières inégalités est celle-ci : 



» Si un corps convexe de volume égal à i n'est pas un cube avec des faces 

 parallèles aux plans des coordonnées, la moyenne arithmétique des aires de 

 ses trois projections sur les trois plans des coordonnées est toujours ]> i . 



» 4. Soit G = G(S', ij») une fonction uniforme et continue sur la surface 

 de la sphère Q, ayant en chaque point de cette surface une valeur positive 



