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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les équations linéaires à points (V in- 

 détermination. Note de INI. Ludwio Sculesi\ger, présentée par 

 M. H. Poincaré. 



« Étant donnée une équation linéaire à coefficients rationnels 



(A) y*' -1- Pn i y""" + ...)- />o V = o 



n'appartenant pas à la classe de M. Fuchs, soient a, .... o,, co les points 

 de ramification et A,, .... A^ les substitutions qu'un système fondamenlii! 



y^, ..., Y„ subit quand la variable x tourne autour des points a^, aa- 



Nous supposons que ces substitutions, aussi bien que Aç^, = A^'. . . A~', 

 soient telles que toutes les racines de leurs équations tondamentales aient 

 pour module l'unité. D'après un théorème démontré dans une Noie que 

 j'avais l'honneur de présenter à l'Académie le 7 mars 1898, on peut con- 

 struire un système de fonctions r,, ..., ^„, qui se comportent régulière- 

 ment pour toutes les valeurs de x, excepté les points a^. et =c, qui subissent 

 les substitutions A^ quand x tourne autour des points a^, et qui ne de- 

 viennent nulle part indéterminées. Les (=^.) forment donc un système fon- 

 damental d'une équation 



(B) =(*'+^„., ="'-<) + ... + ^„r = o 



à coefficients rationnels et appartenant à la classe de M. Fuchs, cogrcdienl 

 avec l'équation (A), c'est-à-dire (cf. mon Handbuch, t. II, § 1, p. ii"») 

 qu'on aura une relation 



les /-/o étant des fonctions uniformes (en général non rationnelles) de x. 

 » En différentiantla relation (Co) et en tenant compte de l'équiition (B), 

 on déduit les relations à coefficients uniformes 



(Cx) r;t^'---^oxz*4-r,),-;-i----+'-«-<,x=r" (>. = i,2,...,« - 1)' 



