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» Si l'on suppose que le groupe de raonoclromie 6 des équations (A) et 

 (B), groupe composé des A^ comme substitutions fondamentales, soit 

 irréductible (primaire dans le sens de M. Joudan, Cours d'Analyse, t. III, 

 p. 190), l'équation (B) ne peut avoir des intégrales communes avec une 

 équation d'ordre inférieur et à coefficients uniformes; on déduit donc 

 des équations (C>) et (A) le système suivant d'équations liuéaires du pre- 

 mier ordre et à coefficients rationnels pour les n- quantités r,x : 



— — fi- 1 ,)> + ''«- 1 .X Ci fi,t.+ 1 . 



r; 



■ I>n- 



(i= o, i, ..., n — i; l — o,i,...,n—2; /•_,_5^ =/•_,„_, = o). 



)) Nous avons donc le théorème suivant : 



» Etant donnée une équation (A) n'appartenant pas à la classe de M. Fuchs, 

 on peut trouver une équation (B) appartenant à celte classe et liée « (A) par 

 la relation (C^), dont les coefficients sont des fonctions uniformes en x, satis- 

 faisant à un système d' équations différentielles linéaires homogènes, à coef- 

 ficients rationnels. 



» Soient G, H les groupes de transformations des équations (A), (B); 

 alors, H étant le groupe algébrique le plus étroit contenant le groupe dé- 

 nombrable (cf. Handhuch, II, 1, p. 10 1), H sera contenu dans G comme 

 sous-groupe. Soit R(si, ..., «„) une expression rationnelle des z,, et de 

 leurs dérivées, admettant les transformations de H, et pas d'autres; cette 

 expression sera une fonction rationnelle de a;; en substituant dans R lesj'^i 

 au lieu des z,^, l'expression R(jK,, . . . , j„) ne sera plus rationnelle, mais elle 

 sera encore uniforme en x. Adjoignons cette fonction uniforme au domaine 

 de rationalité de l'équation (A); le groupe de transformation de (A) se 

 réduira à II (cf. Vessiot, Thèses, V, 1); toute expression rationnelle des y^ 

 admettant le groupe de nionodromie sera donc rationnellement connue. 

 L'expression R(j,, ..., j„) satisfait à une équation différentielle à coef- 

 ficients rationnels en x (Vessiot, /. c, III, 4). JNous pouvons donc dire : 



» En adjoignant à l'équation (A) une certaine fonction uniforme de x, 

 satisfaisant à une équation différentielle à coefficients rationnels, chaque 

 expression des y^ et de leurs dérivées qui est fonction unifoime de x sera ration- 

 nellement connue; l'équation (A) se comporte donc, après cette adjonction, 

 comme une équation de la classe de M. Fuchs. » 



