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CORRESPONDANCE. 



_ M. R. Dedekind, nommé Corresponrlant pour la Section de Géométrie, 

 adresse ses remercîments à l'Académie. 



M. E.-E. Barjjabd adresse ses remercîments à l'Académie ponr la dis- 

 tinction accordée à ses travaux. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. —Sur les fondions quadruplement périodiques. 

 Note de M. Georges Humbert, présentée par M. H. Poincaré. 



« Dans une Note antérieure, j'ai appelé l'altenlion sur les fonctions 

 uniformes de deux variables u et v, admettant quatre périodes de la forme 

 i,o; o,i; g Ji; h, g', lorsque la quantité A; — ^^ ^î (où g^, h,, g\ désignent 

 les parties imaginaires de g, h, g') est positive, au lieu d'être négative, 

 comme dans le cas des fonctions abéliennes ordinaires. Ces fonctions 

 n'existent que si les périodes sont liées par une relation singulière, c'est- 

 à-dire réductible, par une transformation ordinaire du premier ordre, au 

 type 



( I ) ^-^ + P ^> -+- 7g' "~ o. 



a, [3. Y étant entiers. Elles s'expriment alors par des quotients de fonctions 

 intermédiaires, c'est-à-dire de fonctions entières, se reproduisant à une 

 exponentielle e"""-""+/' près, quand on augmente a et v d'une période. 



» L'étude des fonctions interméiHaires générales se ramène, par un 

 changement de variables très simple, à celie des fonctions normales, qui 

 vérifient les relations 



Y{u + uv)= F(^^ r 4- i) = F(;/, c), 



F(« -f- g, V + h) = F(m, (;)c--'^'r'"+T''("]-'"V«-+ïAA]^ 



F(// + h, V -f- g') = F(a, (.)e-="'t°'*"+('+P'')"J-'^'''f«'"^+('+P")s'], 



où /et k sont deux entiers que j'appelle les indces de la fonction. 



» Les fonctions normales, d'indices / et k, n'existent que si la quantité 

 S = /^+ P^7+ ayA- est négative, et si k a un signe donné, déterminé 



