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 d'après ceux des parties imaginaires des périodes; inversement, ces deux 

 conditions, si elles sont satisfaites, entraînent l'existence des fonctions : 

 celles-ci s'expriment alors en fonction linéaire et homogène de mod^ 

 d'entre elles. 



» Je trouve aisément, comme dans le cas des fonctions intermédiaires 

 singulières dérivant de périodes abéliennes, le nombre des fonctions nor- 

 males, d'indices lelk, paires ou impaires, ainsi que les valeurs des demi- 

 périodes qui annulent simultanément soit les fonctions pjiires, soit les 

 fonctions impaires : mais ces résultats ne peuvent plus s'interpréter géo- 

 métriquement sur la surface de Rummer. 



)> En edet, en dehors du cas où Y invariant, ^^ — 4°'Y' ^^^ ^^^ ^"® ^^ forme 

 quadratique x- -\- ^jry-l-ayj- puisse représenter — i, il n'existe pas de 

 surface de Kummer |)our laquelle les coordonnées d'un point soient des 

 fondions quadruplement périodiques formées avec les périodes données. 



» L'invariant étant essentiellement positif, et non carré si l'on veut 

 éviter les cas elliptiques, la plus petite valeur de ^-— 4ay. telle que la 

 forme quadratique précédente ne puisse représenter — i , est douze; en ce 

 cas, on peut rattacher aux fonctions correspondantes une intéressante 

 surface du quatrième ordre à quinze points doubles. 



» La relation (i) se ramène alors au type g'— 3^ = o; les valeurs /= o, 

 k = 1 sont admissibles pour les indices, et l'on trouve qu'il y a huit fonc- 

 tions normales paires, d'indices o, i. Parmi elles, quatre admettent, comme 

 zéro quadruple, une demi-période donnée : la surface |iour laquelle les 

 coordonnées d'un point sont proportionnelles à ces quatre fonctions est 

 du quatrième ordre et admet quinze points doubles, qui répondent aux quinze 

 autres demi-périodes. 



» Grâce à l'étude de courbes remarquables qu'on peut tracer sur cette 

 surface, et qui correspondent à l'évanouissement de fonctions normales 

 particulières, j'ai pu obtenir l'équation de la surface, ou, ce qui revient 

 au même, d'après Cayley, déterminer la coniqueCet les quatre droites D,, 

 qui forment son contour apparent sur un plan à partir d'un des points 

 doubles : c'est là le premier exemple explicite de surface d'ordre quatre, à 

 quinze points doubles, dont les coordonnées s'ex|)rimeiit en fonction uni- 

 forme (quadruplement périodique de deux paramètres). 



» Le résultat est celui-ci. La conique C louche doublement, et les 



quatre droites D simplement, une même conique pour laquelle on peut 



prendre la courbe l\yz — x"^ ^ o; les quatre droites étant z = o, y = o, 



y -\- X -\- z ^^o, y ->r tnx -h rti'^z := o, et la conique C ayant pour équation 



c. R., 1901, i" Semestre. (T. CXXXII, N° 2.) lO 



