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 )) 4. La suite (2) est périodique si l'on a 



a7 = e«.P^,(p, -p, P2-p) + e"^PHo(p, - p. p, - p) -4 

 + e*«PE„(p, - p, p, - p), . . ., 



-1» 



(X2, ..., «n étant les n racines d'une équation binôme du degré n. Le sys- 

 tème le plus général de cette espèce s'obtient évidemment par composition 

 géométrique de n systèmes homothétiques correspondant aux valeurs a,, 

 a,, ... delà constante f7(éq. /j). Si« = 2, la famille delignes p, — p==const., 

 P2 — p = const. (trajectoires du groupe) est composée exclusivement de 

 coniques. 



» 5. La famille p, — p = const., p2 — p = const. des trajectoires du 

 groupe n'est formée de droites que pour les systèmes indiqués par M. Petot, 

 qui admettent un groupe de transformations homothétiques ou un 

 groupe de translations. Le système le plus général, dont les trajectoires 

 p, — p = const. , P2 — p = const. sont des lignes planes, peut être obtenu par 

 composition géométrique d'un système homothétique S et d'un système S,, 

 de la même représentation sphérique, qui donne lieu à distinguer lesjtrois 

 cas suivants : i°S, est un système horaothélique corres])ondant à une valeur 

 de la constante c différente de celle dont dépendent les a;, j>^, z relatives 

 à S; 2° S, est un système admettant un groupe de translations; 3° S, est 

 un système qu'on obtient en différentiant par rapport à n les fonctions x, 

 y, z (4) relatives à un système homothétique correspondant à la même va- 

 leur de G que S. 



» 6. Admettons qu'on ait déterminé tous les systèmes homothétiques 

 d'une représentation sphérique donnée. Soient S l'un de ces systèmes, 

 S' le système homothétique obtenu par l'inversion de S (le pôle de l'in- 

 version étant au centre d'homothétie) et S, l'un quelconque des systèmes 

 homothétiques, de représentation sphérique donnée, distinct de S. On ob- 

 tient tous les systèmes homothétiques S', ayant la même représentation 

 sphérique que S' au moyen des formules telles que 



(^) ^'.=«^.-'^^(^^.+77.+—.)^' 



oxa l'on a désigné par a?, V, :;, a-,, y,, ^,, a?', , j', ,s', les coordonnées relatives 

 aux systèmes S, S, et S', respectivement. Les équations (6) résultent sans 

 aucune difficulté des équations générales de M. Darboux (^Leçons sur la 

 théorie générale des surfaces, t. IV, p. 295 ). Soient r et r, les rayons vec- 

 teurs des systèmes S et S, aux points correspondants. Projetons r, sur r; 



