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 ' >-p = consl. Mais il n'en est pas de même, en générai, dans un mouve- 

 ment isentropique quelconque. Si, par exemple, à l'instant /„, le fluide était 

 en équilibre sous l'action de forces appliquées aux divers points de sa 

 masse, T,, y a partout la même valeur, mais p^ varie d'un élément dm à un 



autre, et 1 on a — '^— = /( p„). 



» Ces remarques ont leur importance lorsque l'on veut préciser les con- 

 ditions dans lesquelles un théorème d'Hvdrodvnamiquc est exact. 



» I. Supposons un fluide sans viscosité, soumis à des actions newto- 

 niennes ou non, Çî^ étant le potentiel des actions extérieures (supposées 

 conservatrices) et V, la fonction potentielle des actions intérieures. On ob- 

 tient sans peine V équation des forces vives 



dt 



i2<, 4- ^ j \ idm -t- / 'ii^, '\)dm -t- ^- f (u- -+- »- -j- u--) r/z/i 1 



/ 



— ^^l , dm := o. 



d \ (Il 



)) Cette équation lonruit une intégrale première des équations de l'IIy- 

 drodynamii|ue : i" pour un fluide incompressible, dilatable ou non parla 



chaleur: p=/(T); 2" pour lui mouvement isothermique : -^ — o; 



3" pour un mouvemmt isentropique quelconque : r^ ne dépend pas de /. 



» II. Considérons, pour des actions ncwloniennes ou non, avec les nola- 

 tions de notre Mémoire sur le potentiel thcrmo lynamique et la pression 

 hydrostatique, l'égalité, facile à obtenir, 





et deux analogues. 



» Les seconds membres sont les trois dérivées partielles d'une même 

 fonction des coordonnées : 1" pour lui fluide incompressible, dilatable ou 

 non par la chaleur; 2° pour un mouvement où la température est à chaque 

 instant uniforme dans toute la masse; 3° pour un mouvement isentropique 

 à partir d'un état initial où la densité et la température sont les mêmes dans 

 toute la masse. 



» Ces conditions sont celles où l'on peut démontrer le théorème de La- 

 grange et les théorèmes sur le mouvement tourbillonnaire, comme l'a 



