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d'abord ( ' ) la possibilité (implicite aii moins) de représenter la M^.,, point 

 par point algébriquement sur le Rr-i- On s'appuie à cet effet sur le lemme 

 suivant : 



» Si une Mr_, contient un complexe oc'^ - d'indice i de courbes unicur- 

 sales et si ce complexe en lui-même est un ensemble unicursal, la M^ , est 

 elle-même unicursale. 



» Pour démontrer ce lemme, je transforme la M^_, par une simple con- 

 struction géométrique en une autre, où les qo''~* courbes unicursales sont 

 contenues dans un complexe y:^''~' de courbes rationnelles remplissant l'es- 

 pace R^. Cela fait, j'applique le principe dit de la conservation du nombre, 

 pour conclure que toutes les propriétés de genre, tous les nombres, ordres, 

 rangs, etc., qui s'y rapportent ne changent pas, si les diverses variétés de 

 base du complexe se décomposent, soit jusqu'à ce qu'il n'y ait que des 

 droites, des plans, des R,, . . ., R,, . . ,, Rr_o d'appui pour les courbes du 

 com[)lexe et, par suite, pour les courbes en question de la M^.,. Une M^., 

 affectée ainsi se transformera simultanément avec le complexe, et celui-ci 

 ayant des transversales uniponctuelles et pouvant se transformer en con- 

 séquence en un complexe -xf^* de droites ou, ce qui est la môme chose, en 

 un sysième de cc'"^' droites par un point O, la M^., se transformera ainsi 

 en un cône rayonnant de sommet O et unicursal, parce que la variété des 

 3c'~- droites qui le constituent est unicursale. Ainsi les nombres différents 

 qui sont décisifs pour l'unicnrsalité (et il y en a toujours) sont les mêmes 

 pour ce cône et pour la M^^, et celle-ci sera unicursale par conséquent. 



» Or la représentation de la M^., devant fournir pour les images des 

 courbes planes un complexe de courbes rationnelles engendrées par un 

 système qo'' de variétés M^-j en R^-i, il ne reste qu'à chercher les types de 

 ces complexes. C'est ce que j'ai réussi à faire et de là résute le théorème 

 énoncé plus haut. Quant au lemme qui intervient dans cette démonstra- 

 tion, on trouve, au Vol. XLIX des Math. Ann., que M. Enriques dit 

 qu'une M3 est rationnelle lorsqu'elle contient une congruence linéaire 

 de coniques. Mais ce qu'il dit à la page 17 de ce Mémoire ne me paraît 

 pas concluant. En effet, on ne peut pas éviter que la détermination des 

 co' courbes, qui sont les sécantes uniponctuelles de Nother {Math. Ann., 

 Bd III) sur les qo' surfaces, comporte des irrationalités essentielles. 

 L'existence d'une M^ qui rencontre toutes les coniques en des points 



(') La démonstration complète du théorème est contenue dans un Mémoire, qui va 

 être publié par V American Journ. oj Malhematics. 



G. R., 1901, I" Semettie. (T. CXXXII. fi' 3.) I7 



