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isolés se trouve sous-entendue, et c'est seulement avec une telle M^ que la 

 démonstration peut s'achever. Mais une telle M, n'existe pas toujours, 

 comme par exemple pour la congruence de coniques, qui fut étudiée par 

 M. Montesano et que signale d'ailleurs M. Enriques. » 



CALCUL DES PROBABILITÉS. ~ Sur un théorème du Calcul des probabilités. 

 Note de M. A. Liapounoff, présentée par M. Picard. 



« Le théorème dont il s'agit ici se rapporte à la formule connue de La- 

 place et Poisson, qui sert à l'évaluation approchée de la probabilité pour 

 que la somme d'un grand nombre de variables indépendantes, soumises au 

 hasard, soit comprise entre certaines limites. D'après le théorème en 

 question, cette formule doit donner la limite vers laquelle tend la proba- 

 bilité, lorsque le nombre des variables augmente indéfiniment. 



» On sait que ce théorème fut l'objet d'un grand nombre de recherches. 

 Mais, jusqu'à celles de Tchebychef, on n'en avait pas de démonstration 

 suffisante, sauf quelques cas très particuliers. Tchebychef eut l'idée ingé- 

 nieuse d'y appliquer les résultats de ses recherches sur les valeurs limites 

 des intégrales [Travaux savants (Zapiski) de l'Académie des Sciences de 

 Saint-Pétersbourg, t. LV, supplément n° 6], et, plus tard, la question fut 

 reprise par M. Markoff, qui a donné à la méthode de Tchebychef tout le 

 développement qu'elle exigeait (^Bulletin de l'Académie des Sciences de 

 Saint-Pétersbourg, 5^ série, t. IX). De cette manière le théorème fut établi, 

 dans certaines conditions, en toute rigueur. 



» Toutefois, la démonstration ainsi obtenue était trop détournée. D'ail- 

 leurs les conditions mentionnées, qui étaient imposées par la méthode et 

 non pas par la nature de la question, ne paraissaient pas aussi générales 

 que possible. Il était donc désirable d'examiner la question de nouveau, 

 en suivant une autre voie, pe qui m'engagea à entreprendre son étude. Je 

 me suis arrêté à une des anciennes méthodes, celle du facteur discontinu, 

 et en cherchant à la rendre rigoureuse, j'y ai réussi après l'avoir modifiée 

 d'une manière convenable. Ainsi, je suis parvenu à un résultat bien général 

 que je me propose de communiquer dans cette Noie ( ' ). 



(') Je dois remarquer que, dans une autre direction, la question considérée était 

 aussi l'objet des éludes de M. NekrassotT, qui n'a pas encore publié ses recherches, 

 mais qui a déjà fait connaître les résultats auxquels il est arrivé. Les conditions où 

 s'est placé M. NekrassofT sont d'une tout autre nature que celles qu'on trouvera 

 énoncées dans cette Note. 



