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» Interprétons maintenint ces résultats dans l'espace à trois dimen- 

 sions. A la congruence (M) correspond une congruence de sphères (M); 

 chaque droite Al correspoml une sphère M ayant pour coordonnées E,, 

 c.y, E3, Çj^, ^5; le centre m de cette sphère décrit un réseau (m); soient (s) 

 et (y) les réseaux qui en dérivent par la méthode de Laplace. Aux droites 

 S et T de l'espace à cinq dimensions correspondent des sphères S et T ayant 

 pour centres les points s et t. Comme les sphères S et T sont des s|)hères 

 points, les réseaux (s) et (t) sont des réseaux formés de lignes de courbure. 



» La sphère M a un rayon égal ams ou k mt; ses cercles focaux sont à 

 l'intersection de la sphère M avec ses plans tangents en ^ et Z; ce sont des 

 cercles points. 



» On voit que le réseau (m) est un des réseaux cherchés; on démontre 

 facilement que tous les réseaux satisfaisants sont parallèles à des ré- 

 seaux (m). Il en résulte qu'au point de vue de la direction des éléments, 

 tout revient à trouver cinq fonctions ^,, ..., c^ satisfaisant aux équa- 

 tions (i), (2), (3). Le problème est du quatrième ordre. 



)) Les sphères (M) forment un système plusieurs fois C ; toutes les trans- 

 formations du cas général sont évidemment applicables ici. Je vais indiquer 

 rapidement les propriétés principales qui se présentent dans ce cas parti- 

 culier des systèmes plusieurs fois C. 



» Il y a une infinité de réseaux O, 30 harmoniques à la congruence (M); 

 les transformés de ces réseaux sont harmoniques aux congruences (S) et 

 (T); ils sont, par conséquent, 2I. Ainsi les systèmes O, 30 du cas général 

 possèdent ici la propriété de se transformer des deux côtés en systèmes 2I. 

 Il y correspond dans l'espace à trois dimensions des réseaux C, 3C qui se 

 transforment des deux côtés en réseaux 2O. 



» Les congruences I, SI conjuguées aux réseaux O, 3 O, ont pour trans- 

 formées des congruences conjuguées à des réseaux 2I: ces transformées 

 seront 2O. Il y correspond dans l'espace à trois dimensions des réseaux 

 O, 50 qui se transforment des deux côtés en réseaux 2C. 



» On voit tout de suite une solution particulière de notre problème; 

 c'est le cas où E5 est nul. Le problème est du deuxième ordre, il se ramène 

 à la déterniinalion des surfaces à courbure totale constante. 



» Dans ce cas, la sphère (M) est normale à une sphère fixe 1 ; les poin Is s 

 et l sont situés sur 1 et décrivent des réseaux orthogonaux sur cette sphère. 

 Le pôle m' du plan msi par rapport à 1 décrit un réseau analo2;ue au ré- 

 seau (m); les tangentes au réseau m' sont m' s et m' t. Les tangentes du ré- 



