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seau (s) sont sm et sm'. Si l'on considère un réseau parallèle à (s), il se 

 transformera, ilans les deux sens, après deux transformations de Laplace, 



en réseaux de lignes de courbure. 



» J'ai étudié ce cas parLicnlier, en délai!, dans un Mémoire inséré en 

 1 896 dans les Annales de l'École Normale (^Siir les sur/aces minima non eucli- 

 diennes ) . » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la densité des zéros et le module maximum 

 d'une fonction entière. Note de M. Pierre Boutroux, présentée par 

 M. Poincaré. 



« Soient G(z) un produit de facteurs primaires, M (/; le maximum de 

 son module pour |sl -— r, r„ le module de son /ï""""' zéro. Un théorème de 

 M. Hadamard permet de trouver une limite inférieure de /„, si l'on connaît 

 une limite supérieure de M(r„). Mais jusqu'ici l'on n'est pas parvenu 



pour la réciproque à une proposition aussi complète. Si, par exemple, 



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0(2) est de genre fini, M. Borel a montré que l'inégalité /"„^ n" (c réel et 

 positif) entraîne M(/ j<^e'^'. Mais n'est-il pas possible d'aller plus loin, si 

 l'on connaît la croissance de r„ avec plus d'exactitude? M. Borel semble 

 en douter (Leçons sur les /onctions entières, p. 99). Il signale, en effet, 



les deux fonctions sin "" et — - dont les zéros ont mêmes modules et dont 



les modules maxima sont cependant respectivement proportionnels à e^ 

 et à /'. 



» Je vais montrer que, cependant, il est, en général, facile de compléter 

 les résultats de M. Borel. 



» Soit Gi^sj un produit de genre fini p. Je suppose que pour n ^ m on 

 a r„>-'|i(/i), '^/Çn) étant une fonction continue positive et croissante 

 ['\t{n)<hnP'^']. Je veux trouver une limite supérieure deM(r). 



)) Soit r = ri-\(i), i étant un entier plus grand que m, et r, un nombre 

 fini. Un mode de démonstration déjà employé montre que l'on a 



l logM(r) <^arP-^ 2r I [']>{n)\-' dn + '— f [^{n)\--dn -F . . . 



1 + '1 l'\^{n)\-Pdn'^brP^' f [i^{n)]-P'-Wln 



(a et 6 finis; on suppose i{/(/n)^ i et la dernière intégrale convergente). 



