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.le supposerai que l'on a <\i(/7) -■- nP <l>,[n) (p=^o) et que pour n^j>m 

 la fonction s log« — log^j/, (n) est positive et croissante, si e)^ -< i — 

 i) p est l'ordre de 0(3); '\i,{n) sera par exemple de la forme 



(log«)^>(loglog/i/" 



M Cela posé, si >. :^ p, des intégrations par parties successives donneront 



f n P [tj/, («)]-■*• û?«<<:'x(t + oc 



7W 



■••) 



t P 



^ -^ [i (0]"'(' + a + oc= + ...)- f + «• P [|,(.-)]-^=. c + 



i. — : 



puisque nous avons posé r — ri'\i(i) (a<< i, c et 5 constantes). 



» Si X = p, posons (jy, («) = (log«y <|/2(«) et supposons que, pour 

 n'^;>m, la fonction eloglogn — \o^i/.^{n) est positive et croissante, lorsque 



s). ^ I • On constate alors que 



f'n-\\ogn) \^,(n)]-^dn<^c-hs{\ogi) '* [|,(/)]-^ = c + ^./-'«logi. 



» Lorsque 1 = z, on retombe sur un cas exceptionnel que l'on traite de 

 la même manière et ainsi de suite. 



» On étudie l'intégrale / [|(«)i~^~' 6?« de la même manière. 



■-'i+l 



» Portons maintenant les limites obtenues dans l'inégalité (i) et sup- 

 posons d'abord p non entier. On trouve, en désignant par (p(;) la fonction 

 inverse de ({/(«) , 



(2) M(r)<p'^^\ 



k eln étant des nombres finis. 



» Au contraire, si p est entier, >. est égal à p pour l'une des intégrales 

 de(i), et l'on obtient seulement, en supposant t différent de i, 2, . .,p -h 1, 



(3) M(r)<e<^""^'^^^'^^""'. 



n II est aisé de constater que, si p est entier, M(r) peut effectivement 

 s'approcher beaucoup de la limite (J) ou, au contraire, rester très voisin 

 de la limite (2). Nous avons vu un exemple de ce fuit lorsque p =/>. Soit 



