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GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE. — Une classe nouvelle de surfaces algébriques 

 qui aibm tient une déformation continue en restant algébriques. Note de 

 M. D.-Th. Egorov. 



« 1° Considérons une surface lélraédrale du dix-huitième ordre pour 

 laquelle les coordonnées cartésiennes x, y, z sont définies en fonction de 

 deux variables u, v par les expressions suivantes : 



x = k^{u — s,)-{<.' — s,)-, 



I ^ 1 



' z = A^iu — s^yÇc — S:,)-. 



n L'élimination des paramètres u, v conduit à l'équation bien connue 



2 2 



» Les courbes u = const., c = const. tracent sur la surface considérée 

 un système conjugué, car les trois coordonnées x, y, z satisfont à une 

 même équation linéaire (') 



... . . d'f) 3 dO 3 de 



V '' '' du av 1 du 2 di' 



» En différentiant li\s formules (i), on obtient aisément l'expression 

 suivante de l'élément linéaire 



I r/5-= |[(«s''' — 3a, r- + "ia^v — a-:^)u — a, r^ + "ia.v- — jrtsC -i- «J (/«- 

 (4) I + Y" [a„ a- V- — 2 rt , Hc (h h- ^') + ûfo («^ + 4 uv + c'- ) — ■2a^{u + v)-ira^ du dv 



I 4- i'[(a„u' — 3rt,jr -+- 3^2" — «3 V — «,;<'+ SrtoU^ — 'Sa~^u + a,J r/^-^, 



où l'on a posé 



(5) 2A^ = a„, 2A:5, = «,, 2A^5; = a,. I\;^; = a3. iA;5; = «,. 



» Réciproquement supposons l'éléineut linéaire défini par la formule (4) 

 (les constantes a,- ayant des valeurs fixes quelconques) et proposons-nous 

 de déterminer toutes les surfaces lélraédrales définies par des formules 



(') Cf. Darboux, Leçons sur la théorie générale des surfaces, t. 1, p. 142. 



