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d'une fimiille quelconque de surfaces applicables les unes sur les autres 

 avec conservation d'un syslème conjugué une infinité de familles nou- 

 velles de la même espèce. Appliquons ce théoième à la famille de surfaces 

 tétraédrales signalée au numéro i". En désignant par x, y, z les expres- 

 sions (i) des coordonnées relatives à cette famille (et par suite dépendant 

 du paramètre arbitraire c), posons conformément au théorème cité : 



(9) 



d.x^ dx 6)>', dy d:-t à: 



-—^=m^-, —!-=rn-/-> -^=m^, 



du du ou du au du 



dx, dx dy, _ „ ày dz, _ ^ àz 



dv ov dv ai' oi' «(' 



» L'élimination de a-,, y,, z, conduit à une même équation de I^aplace 

 pour les trois coordonnées x, y, z, et comme cette équation ne peut pas 

 être distincte de l'équation (3), il viendra 



, . . -. dm , ^dn 2> , ^ 



(lo) (u - v)^ = („ _ p)_ = -Jm - n). 



» Le syslème (lo) est équivalent au système suivant 



V / du di' ^ ' dudv 2 du 2 di' 



et l'on est ramené à l'intégration de l'équation bien connue E( -> -) d'Euler. 



Ch;ique solution particulière de cette équation conduit à une famille dé- 

 terminée de surfaces a p|>licables; les coor.lonnéeso;,, y, , :;, relatives à celte 

 famille s'obtiennent par des quadratures en vertu des équations (9). En 

 désignant par C, §, CJ les coefficients de l'élément linéaire (4). on aura 

 évidemment 



(12) dx\ + dy\ 4- (lz\ = wi- ^' dii'^ -\-'2 mn 3? du dv 4- «^ (| dv- . 



» L'équation E(-) -) admet une infinité de solutions entières ('). Les 



familles de surfaces applicables correspondant à ces solutions particulières sont 

 composées exclusivement de surfaces algébriques. » 



(') Cf. Dakboux, Leçons sur la théorie générale des surfaces, t. II, p. 57. 



