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ANALYSE INFINITÉSIMALE. — Sur ce/ laines transformations de Bàcklund. 



Note de M. Clairik. 



« Je me propose d'abonl de compléter un résultat que j'ai indiqué dans 

 une Noie antérieure (') et que je rappelle : étant donnée, avec les nota- 

 tions ordinaires, une équation aux dérivées partielles tin second ordre 

 Y(x, y, z, p, q, r, s, i ) = o, admettant un système (C) de caractéristiques 

 du premier ordre, il existe une infinité de transformations définies par 

 c|ualre équations de la forme suivante : 



^' ^/.C^'J' z,p,q;z'), y =f.i{x, y, z,p,q;z'). 



(T ) ' P'^/aC'^'^' -'/''?'-')' 9'=/t(^'7'-'/''y'^')' 



et telles que l'équation proposée dérive de l'une quelconque de ces trans- 

 formations. Nous dirons que ces transformations sont déduites du système 

 de caractéristiques (C). 



» Cela posé, soit (Tj) une seconde transformation, déduite du sys- 

 tème (C), qui ne se ramène pas à (T,) par une transformation de con- 

 tact : 



^ x"=':^,{x,y,z,p,q;z"), y" = <f.,(x, y, z,p, q; z"), 

 ' p"=03{x,y,z,p,q;z"), q" =<f^(x, y, z,p, q; z"), 



il est aisé devoir que les coordonnées (x , y, z',p',q' ), (^x" , y" , z" ,p" ,q") 

 de deux éléments correspondants satisfont à quatre relations 



TA.,{x',y,z,p,q'\ x",y',z",p",q") = o, 



.qx ; ^i{x',y,z',p',q'; x",y,z",p%q"):^o, 



' H, (a-', y, z',p', q'; X", v", z",p", q") = o, 



HjCa?', y, z',p',q' ; x" ,y" ,z", p" ,q") = o. 



» En particulier, si (T,) et (T,) sont des transformations de Bàcklund, 

 (0) csl également une trunbloimalion de Bàcklund. 



» Je considère maintenant les transformations de Bàcklund qui font 



(') Comptes rendus, 5 février 1900. 



C. R., 1901, 1" Semestre (T. CXXXII, >° 6.) 4o 



