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correspondre une à une les intégrales des deux équations transformées : 

 j'ap|)ellerai ces transformations, transformations de Bâcklund de première 

 espèce, ou, plus simplement, transformations (B,). Je ne m'occuperai ici 

 que des équations qui possèdent deux systèmes distincts de caracté- 

 ristiques. 

 » Soit 



(e) V{x, Y,z,p,q,r,s,l) = o, 



une équation du second ordre qui admet deux systèmes de caractéris- 

 tiques (C) et (r), soit 



{i) , Y'(x',y,z',p',q',r',s',t') = o, 



une équation qui correspond à (e) par une transformation (B,), soient 

 enfin (C) et (T') les deux systèmes de caractéristiques de (s"), (C) cor- 

 respondant à (C) et (r') à (r). 



» Si, relativement à (e), la transformation est déduite du système (C), 

 relativement à (e') elle sera déduite du système (F'). 



» A tout invariant d'ordre A(^^ 2) du système (r) correspond un inva- 

 riant d'ordre k — i du système (F'); à tout invariant d'ordre /(/>2)du 

 système (C) correspond un invariant d'ordre /+■ i du système (C). 



» Si (C) admet un invariant du premier ordre, r = const., cet invariant 

 se transformera en un invariant du second ordre de (C), à moins que (s) 

 n,e soit de la forme 



(i) s + qg{x,y, z,p, r) -h h(x,y, z.,p,r) = o\ 



si (r) possède un invariant du premier ordre, (e) est une équation de 

 Monge-Âmpère 



(2) r -\-ms -\-M =^ o, 



et l'invariant j' = const. se change en un invariant du premier ordre. J'ai 

 déjà étudié les transformations des équations (i) et (2) (' ). 



» On démontre encore sans difficulté les deux théorèmes suivants : 

 » Si deux équations (e) et (e') se correspondent par une transforma- 

 tion (B,), les équations que l'on iléduitde (e') par une transformation de 

 contact, d'ailleurs quelconque, sont les seules qui correspondent à (e) par 

 une transformation (B,). 



(') Comptes rendus, 9 avril 1900. 



