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 M Si deux équations se correspondent j3ar une transformation (B,) elles 

 admettent le même nombre de transformations de contact. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur le ihèorèine (VHugoniot et la théorie des 

 surfaces caractéristiques. Note de M. J. Coulox, présentée par M. C. 

 Jordan. 



« Dans une Note publiée dans les Comptes rendus (^^ ) , nous avons rat- 

 taché la construction de la surface d'onde connue sous le nom de principe 

 d'HuYgens à la théorie des surfiices caractéristiques. Eu partant du niènic 

 point de vue, nous nous proposons de retrouver les formules d'Hugoniot (^) 

 relatives à la propagation des ondes dans un fluide en mouvement. Nous 

 établirons tout d'abord le théorème général suivant qui contient ces résul- 

 tats comme cas particuliers : 



I) Soit un système d'équations aux dèri<,ées partielles d' ordre quelconque et à 

 un nombre quelconque de variables indépendantes, définissant un mouvement. 

 On peut, sans aucune intégration, déterminer les vitesses de propagation des 

 ondes pour une direction déterminée. 



» Four simplifior l'exposition, nous considérerons un système de deux 

 équations aux dérivées partielles définissant deux fonctions des variables 

 X, y et t. Désignons \ràrf(x,y, t) une surface caractéristique. Cette fonc- 

 tion satisfait à une équation homogène par rapport à ses dérivées partielles, 

 du premier ordre et de degré m par exemple, 



/ \ l àf df ôf\ 



» Considérons une ligne dans l'esjjace E(a;, y, t), par celte ligne d 

 passera en général m surfaces caractéristiques satisfaisant à (i). En un 

 point particulier A(xg,yç,, /„) les normales à ces surfaces sont situées sur 

 le cône 



(N) 9„.(X, Y,T): 



et les plans tangents touchent le cône réciproque de (N), soit le cône (T) 



(T) <Ï.(X, Y, ï). 



(') Comptes rendus, p. io64; 17 avril igoo. 



(') Journal de Mathématiques pures et appliquées, 4° série, t. III, p. 477, et t. IV, 

 p. i53. 



