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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les foimes linéaires aux dérivées partielles 

 d'une intégrale d'un système d'équations différentielles simultanées qui 

 sont aussi des intégrales de ce système. Note de M. A. Buhl, présentée 

 par M. P. Appell. 



« Le théorème de Poisson, d'après lequel la forme aux dérivées par- 

 tielles représentée symboliquement par (a, p) est une intégrale d'un 

 système d'équations canoniques si a et p sont deux intégrales de ce sys- 

 tème, malgré les nombreux cas discutés, notamment par Joseph Bertrand 

 [Mémoire sur l'intégration des équations différentielles de la Mécanique 

 (Journal de Mathématiques, p. SgS; 1 832)], où ledit théorème ne fournit 

 qu'une constante ou une fonction d'intégrales déjà connues, reste pourtant 

 l'un des plus beaux du Calcul inlégral. 



» Il n'est pas impossible d'imaginer qu'il serve tel qu'il est, quoique 

 indirectement, pour les systèmes autres que les systèmes canoniques, 

 ceux-ci pouvant toujours se ramener à la forme canonique, comme cela a 

 été établi par Liouville et récemment, à l'aide d'une méthode beaucoup 

 plus profonde d'ailleurs, par M. G. Rœnigs (Comptes rendus, p. 8^5; 1895^. 



» M'étant proposé une recherche inverse, j'établirai d'abord ce 

 théorème : 



M Étant donné un système d'équations simultanées, tel que 



où les X sont des-fonctions quelconques des x, il existe r fonctions Y, , Y,, .... Y^ 

 des variables x telles que si <t> est une intégrale du système en question, la 

 forme linéaire 



y Y, ^ =. Y. -f- + Y.|î + . . . + Y.^, 

 /=i 



en est une autre. 



» En effet, on doit alors avoir les deux égalités 



/=1 1=1 \/=l 



» Dérivant la première de ces égalités par rapport à ar,, multipliant 



G. R., 1901, I" Semestre. (T. CXXXII, N° 6.) 4l 



