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» Soient C une courbe fermée, s ia longueur de l'arc compté à partir 

 d'un point arbitrairement fixé sur la courbe. Choisissons l'unité de longueur 

 de manière que la longueur totale de C soit égale à 2tc, c'est-à-dire égale à 

 la circonférence du cercle de rayon i. 



» Ceci posé, les coordonnées x, y d'un point variable sur C seront des 

 fonctions continues de l'arc s ayant la période ir:. Supposons que ces fonc- 

 tions, ainsi que leurs dérivées par rapport à s, soient développables en sé- 

 ries trigonométriques et posons 



1 a; := «0 + V (a„cos/î5 + a'„ sin«\), 



(1) !"=' 



\ y -— b^ -\-'^ {b„ cos,n$-h- l^n &inns). 



\ n =1 



» L'aire F de la courbe C étant donnée par l'intégrale 

 F=Jxdy = f^ x^^ch, 

 on trouve, en employant les développements (i), 



) F = ^2 ^' ^- ^'" *« ~ "■'" ''•'» ) • 



)) De même, en intégrant l'identité 

 entre les limites o et 2-, il vient 



c'est-à-dire 



(3) ^r.^-^n'{a^, + à;;+bl + f^). 



» Des équations (2)|et (3) on tire 



( ^n[(\a,-b:,y + {à„ + b,y\\. 



