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M. Picard a fait connaître {Acta math., t. V, p. i8i) les substitutions fon- 

 damentales de ce groupe de sobstitutions que j'appellerai le groupe S, il a 

 montré qu'elles transforment en elle-même la forme F = uu^ -+- vWi -'- v^ w 

 (m,, Vt, w^ étant les quantités conjuguées de u, v, w), et que les fonctions .r 

 et y ne sont définies que pour les systèmes de valeurs de u, v, w qui ren- 

 dent cette forme négative. 



» Si l'analogie avec la fonction modulaire se poursuit, le groupe S ne 

 doit être qu'un sous-groupe du groupe qui transforme F en elle-même. Sur 

 les indications de M. Picard, je suis arrivé à établir qu'il en est ainsi; j'ai 

 pris la courbe initiale sous la forme 



z'' = (/' - Gc) {f - ^) (f - y) (t' - S;, 



qui est reliée à la forme primitive par les relations 



z = (^-^y 



1=0.^(^-0.)/', 





= X, 



p- 



.7' 



et j'ai construit la surface de Riemann relative à cette courbe; a, p,y, S en 

 sont les points critiques à distance finie. On obtient les substitutions S en 

 faisant décrire aux points a, p, y, S les uns autour des autres des courbes 

 fermées; on obtient un nouveau groupe contenant S comme sous-groupe et 

 transformant F en elle-même, en échangeant entre eux les points a, [î, y, S. 

 Un Tableau tel que 



représentant la substitution 



w' = M, M-' 4- P, (' 



on trouve que des trois substitutions 



I I o o 

 T, — o I o , T, — 



o o —"k 



Rfii, 



u' = M3 iV 



P,^ 



R,M. 



o 



r- 



o 



o 

 o 



o 

 o 



1 



la première , échange fi et y; la deuxième, y et 8; la troisième, 8 et a. En 

 combinant ces trois transformations, on peut, de la permutation apyS, 

 passer à une quelconque des autres; on peut donc considérer ces trois 

 substitutions comme engendrant tout le groupe relatif à ces échanges. Je 



