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y entrent, c'est-à-tlire dont le premier membre forme un polynôme com- 

 plet de même degré séparément par rapport à celles des quantités j, j', ..., 

 y(*) qui y entrent. 



» V. o ne peut être solution des équations différentielles rationnelles 

 d'ordre k dont le premier membre forme un polynôme de degré total X en 

 y, y', ... , y'*', si ce polynôme comprend tous les termes possibles de la 

 forme 



Gj""7'"' . . .jr''*"*, a„ + a, + ...+«, :^ ^, 



G étant un polynôme entier en x et y. 



» Quand 9„ = C"' ((^ >- i) et que A(n') = «"' (m >i), la condition (2) 

 est toujours satisfaite. 



» Les propriétés I et IV restent vraies quand i|/(« -I- i) — ^{n) est fini 

 et ^i . Ainsi, elles sont applicables à la fonction cp quand 0„ ^^ "C" • 



» Théorème III. — Soit la fonction ( ') 



P 







P, 



où P, est un polvnome entier en x de degré //«,0> o. Si 9 est une fonction 

 algébrique de degré \; quand x e\.n sont suffisamment grands, on a 



V„<aq\-'x"''^''-''', 



a étant une quantité finie, et q„ le dénominateur de la «""■"* réduite 

 de (p(/7„ = i, y„= o, /), = Po, <7, = i). 



» Corollaire. — Si P„^ aq''^^, quelle que soit la constante ;;-, <p n'est pas 

 une fonction algébrique. C'est le cas, en particulier, quand m„ = nl dès 

 que n est suffisamment grand. 



» Nous espérons compléter ces résultats ultérieurement. » 



MÉCANIQUE APPLIQUÉE. — Traces superficielles laissées par les outils dans 

 le travail du sciage des métaux. Note de M. Yasseur, présentée jiar 

 M. Mnurice Levy. 



« Dans une Note qu'il a présentée à l'Académie (numéro du 12 novembre 

 1900), M. Ch. Frémont signale l'apparition tie lignes, lorsque l'on scie 



(') Conip. BoREL, Leçons sur la théorie des fondions, p. 26 et suivantes. 



