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» On peut, de la même manière, montrer que la fonction <p ne peut 

 satisfaire à une équation différentielle rationnelle d'ordre quelconque que 

 si les exposants \n satisfont à certaines conditions de croissance : 



» Théorème. — Soit la fonction 



"P-^ ^•••"^"^" + •••• 



où 9„ est quelconque et '\>n une fonction croissante de n qui peut être négative 



pour les valeurs de n inférieures à une limite finie, mais qui est telle que ^-^ — ^- 



croisse indéfiniment avec n : «p ne peut satisfaire à une équation différentielle 

 rationnelle d'ordre quelconque que si 



if{n + v) = X(j/(« + «^ - i)^ . . . (<]^n)^ 



(v entier, ;j., , . . . , j;.^ rationnels ne peuvent avoir qu'un nombre limité de valeurs 

 ne dépendant que ries exposants de y et de ses dérivées dans l'équation donnée 

 et de l'ordre de cette équation, les dénominateurs de ii.,, .., <j.^ étant ^ l'ordre 

 de cette équation). 



» En particulier, (p ne satisfait à aucune équation différentielle rationnelle 

 quand i|^(/i -t- i) == 'X(i|//i)i^, j^, étant une fonction de n qui croît indéfiniment 

 avec n, et 1 une quantité finie et limitée supérieurement et inférieurement . 



i> On peut encore étendre les propriétés établies dans notre précédente 

 Communication aux équations différentielles 



K^.^.s^---S)=i:aw/--(S)"=<'. 



rationnelles en j et ses dérivées, les k{x) étant des séries de la forme 



qui ne diffèrent que par les valeurs des a,, . («„ . ::7^ o en général et fini) et 

 des uji, les y)„ étant quelconques :^ o et nj,/2 étant égal à 



(n-r()']/«lim„^,ri=o. 



» Les résultats du théorème I sont encore vrais, pourvu toutefois que, 

 dans le cas des § IV et V, quand aucune condition n'est spécifiée pour 



l'exposant de y, ô„ < Xn,, --~-^ (1, [i. quantités finies). 



» Les résultats du théorème II restent vrais pourvu que w,n — An soit 



