( 75i ) 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur une formule de M . Fredholm. 

 Note de M. G. Mittag-Leffler. 



« Dans les Comptes rendus du i5 mai 1899 j'ai énoncé le ihéorème sui- 

 vant (th. m) dont la démonstration détaillée a été insérée aux Acta malhe- 

 matica, t. XXIV, p. 2o5-244 '• 



» Désignons par A une étoile de centre a, par a une quantité positive 

 qui n'est pas plus grande que l'unité et par A'"' une étoile concentrique à A 

 et inscrite dans A, qui est engendrée par la fonction génératricey(w|«). 

 On pourra toujours choisir cette fonction de telle façon que <x étant suffi- 

 samment petit, l'étoile .A"^ renferme dans son intérieur un domaine donné 

 quelconque situé à l'intérieur de A, et que, pour a = i , l'étoile A''Mevienne 

 le cercle concentrique à A et inscrit dans A. 



» On pourra encore choisir /(«|a) de telle façon que A étant l'étoile 

 principale d'une suite de constantes 



F(a), r'"(a), .... FC'Ca), ..., 

 assujetties à la condition de Cauchy, la série 



^,{y,\a) = F(«) +2 ^^("-^ - «)' 



ou 



<iv(x-a) = r^F'V)(.-«) + î^^F'^)(a)(.-«y. 



^^F<-)(a)(.-ar-+|^FC"(a)(x.-ay, 



et oij 



\v = 1,2, J,..., 00/ 



sont des constantes positives déterminées dépendant uniquement de la 

 fonction génératrice, possède une étoile de convergence identique à A'°", 

 que l'égalité 



ait lieu partout à l'intérieur de A'*', et que la série Sa(oc\a) pour a = i 

 devienne la série de Taylor. 



