(755) 



tion (i + x)"\ Je me propose, dans cette Note, de faire connaître l'expres- 

 sion que j'ai obtenue et quelques-unes de ses conséquences les plus immé- 

 diates. 



» I. Lorsque l'un des éléments a, {i, de la série hypergéométrique 

 F (a, [i, y, x) est égal à un entier négatif, cette série se réduit à un poly- 

 nôme. Il n'y a aucun inconvénient à attribuer, dans ce polynôme, à y une 

 valeur également entière et négative, pourvu que cette valeur soit numéri- 

 quement plus grande que celle prise par a ou p. Je désignerai par 

 G(a, p, y, x) tout polynôme ainsi formé. Ceci posé, on a ce théorème : 



» La fraction rationnelle approchée de (i -h x)'", pour le couple (jj-, v), a 



pour expression 



U|xv _ G [— 'S — ^ — '», — (M - +v), — a;] 



» Parmi les démonstrations que j'ai trouvées de ce théorème, la suivante 

 me paraît intéressante par sa simplicité. 



» Dans la formule, déjà connue, de Gauss, 



F(a, p, y, x) (i - xy-^-^ = F(y - a, y - g, y, x), 

 faisons, i désignant une quantité infiniment petite, 



a = — [A, p = — (v + ej + m, y = — y. — (^v -f- îj, 



et remplaçons x par — a?; on obtient 



F [— [j-, — (v -h a) -H m, — [J. - (v + e), — .r] ( i -^ x)'"- 

 = F[- (v -h i), —['■- "i, - [J- — (v + i), - x\. 



» La fonction F qui figure dans le premier membre est un polynôme 

 f|j.(a:, e), de degré [a, qui, lorsque z tend vers zéro, tend vers 



G[— [J., — v + m, — (a + v), —x]. 



» Le second membre est une série illimitée où nous distinguerons trois 

 parties : d'abord le polynôme, de degré v, F^(x, e), formé par les v -|- i 

 premiers termes; ce polynôme, quand e tend vers zéro, a pour limite 



G[— V, — a — //z, -(a + v), - x'\. 



» Ensuite, vient une somme Q{x, e) de termes, au nombre de p., 

 dont les coefficients renferment tous i en facteur, et qui tendent, par suite, 

 vers zéro avec s. Enfin, il reste une série illimitée, uniformément conver- 



