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 gente, quel que soit s, quand x a une valeur numériquement inférieure à 

 l'unité, dont la somme S(.t, e) tend nécessairemeiit vers une limite quand 

 t tend vers zéro, et qui renferme 0;'^+^"^' en facteur. On a donc 



F^(a-, £)(i + a-r = F,(^, i) + Q(a-, + S(x, e), 

 d'où l'on conclut, en faisant tendre £ vers zéro, 



(1 + J0)"' = ^-HAa;H-^^"' _)_ B^ci^-^"-^- + ..., 



' (JLV 



ce qui établit la proposition. 



» 11. Celle formule comporte des conséquences étendues sur lesquelles 

 je reviendrai dans une autre occasion. Je me contenterai ici de signaler les 

 suivantes qui sont immédiates : 



» 1° Lorsque m n'est pas entier, c'est-à-dire dès que (i + a^)'" n'est 

 pas simplement rationnel, toutes les réduites sont normales. Il existe dans 

 ce cas trois catégories de fractions continues holoïdes régulières; ce sont 

 celles que j'ai fait connaître dans la Communication rappelée plus haut et 

 dans celle qui l'a précédée (i3 novembre 1899). 



M 2° Si l'on remplace x par —, puis que l'on fasse croître m indéfi- 

 niment, on trouve la réduite de la fonction exponentielle. L'expression que 

 l'on obtient coïncide avec celle donnée par M. Hermile. 



)) 3° De même, l'emploi de la formule élémentaire par laquelle on fait 

 dériver la fonction log(i -h x) du binôme (i -f- a)'" par un passage à la 



limite, conduit à la réduite de la fonction -log(i + a,), pour le couple 



([X, v), oi^i [j. est toutefois supposé au plus égal à (v+ i). De la connaissance 

 de cette réduite se tirent ensuite une partie des fractions continues 

 holoïdes régulières de la fonction, et, en particulier, les cinq déve- 

 loppements connus jusqu'ici et dus à Euler, Lagrange et Gauss. 



» 4° Les termes de la réduite de (i-i-x)'" sont des polynômes de Jacobi, 

 et l'on en peut conclure des expressions diverses de cette réduite. C'est 

 ainsi qu'elle peut être mise sous la forme élégante 



*(1V 



= ^o-^-r 



