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GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE. — Sur la déformation du paraboloide général. 



Note de M. Servant. 



« Dans les Comptes rendus du i8 février dernier, M. Guichard donne 

 comme nouveau le théorème suivant : 



» Pour déformer le paraboloide quelconque, il suffit d'effectuer les deux 

 opérations suivantes : 



» 1° Trouver les éléments du déterminant D, ce qui revient à la recherche des 

 surfaces à courbure totale constante ; 



» 2° Intégrer le système complet (4) (voir la Note citée). 



» Or, dans le numéro du 19 novembre 1900, j'avais énoncé le même 

 résultat sous une forme très peu différente, que je reproduis ici : 



). Soient l(œ,y,z,it), l,(x,,y\, z,, il,) les coordonnées de deux sur- 

 faces à courbure moyenne constante non euclidiennes parallèles; on aura 

 les relations 



Sx^-t'' = a\ S,x;-t; = a-, Sxx,- tt,= b\ 



et les formules 



/ E = fxdt, ■+- x,dt, 



(a) i ■n=^fydt,z-}-y,dt, 



' 'C — fz dt, -h z,dt 



donneront un surface applicable sur le paraboloide 



b'-^a" 



IX. 



). .... Les coordonnées de 1 et 2, satisfont respectivement aux équations de 

 Laplace relatives aux lignes de courbure de deux surfaces à courbure moyenne 

 constante parallèles de l'espace ordinaire; par conséquent, la principale dif- 

 ficulté du problème de la déformation du paraboloide est l'intégration 

 de l'équation 



(■[\ -^ — r-:=sinecos0 



\ ^ du dv 



df's surfaces à courbure totale constante. 



1) Soit une solution de cette équation ; le problème se réduit alors ; 



au 



