(8,7 ) 

 suivant : Trouver quatre solutions de l'équation 



liées par la relation 



d-a^ dB dx de dx _ i u =■ a. -^ i p, 



du dv dt- du Ou 0^ j Ç' ::= ^ — i (3, 



Sx^ — t- =^a-; 



X, , y, , :,, t, se calculent ensuite sans quadratures. 



» On peut encore raisonner comme il suit : A toute solution de l'équa- 

 tion (i) correspond une surface à courbure moyenne constante non eucli- 

 dienne qui est complètement déterminée de forme. En effet, on voit de 

 suite (voir la Note citée) que si l'on se donne a et i on peut calculer A, 

 A', A", et par conséquent la surface sera déterminée intrinsèquement. 

 Pour avoir les coordonnées x, y, z, t, il faudra intégrer le système d'équa- 

 tions suivant, qui est dû à M. Bianchi (Vorlesungen, p. 625), 



d-x ^ 1 1 ) c* r I. 1 i )da; 6 A ,. 



du^- '^ \ i \ du i 2 S de a'- [ i ^ _ A ^ R ^" 



à^x (i2)()a; (i2)Jx e-A'v \ a du du dv' 



I dudv ~ \ i )du I 2 j dv a'- a J ' <^' _ a '^■*' n <^" 



\ d-x i 22 ) dx {.ii'idx e A" J- \ a dv " ' du ' dv ' 



l dv"^ \ i \ du \ 1 ) dv a '' 



et qui est absolument équivalent à celui de M. Guichard. 



» Nous avons démontré (') que l'élément linéaire des surfaces à cour- 

 bure moyenne constante non euclidiennes est le même que celui des sur- 

 faces analogues de l'espace ordinaire; il en résulte facilement, pour ces 

 surfaces, des transformations analogues à celles de Lie, Bianchi et Backlund 

 dans l'espace ordinaire ; il en résulte des transformations pour les surfaces 

 applicables sur le paraboloïde. 



» Dans certains cas particuliers, le problème se simplifie; supposons, 

 en particulier, que h soit nul; les surfaces 2Î1 et i, sont alors des surfaces 

 minima non euclidiennes et les formules (y.) donnent les surfaces appli- 

 cables sur le paraboloïde particulier 



z- — y- = za^x. 



» On peut démontrer que, de toute surface à courbure totale constante 

 dont on sait déterminer toutes les géodésiques, on peut déduire, par des 



(' ) Voir la Noie du ig novembre. 



