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opérations qui n'exigent que des quadratures, une surface applicable sur 

 le paraboloïde précédent. « 



GÉOMÉTRIE. — Sur la somme des angles d'un polygone à connexion multiple. 

 Note de M. M. d'Ocagxe, présentée par M. Painlevé. 



« Le théorème suivant a pour objet de permettre la vérification de la 

 somme des angles d'un cheminement topographique quelconque. 



» Quelques définitions sont nécessaires pour en rendre l'énoncé plus 

 précis. 



» Si par un point A l'on mène une demi-droite munie d'un sens, cette 

 demi-droite est d'île antérieure ou postérieure à ce point, suivant qu'un mo- 

 bile la parcourant dans son sens se dirige vers le point A ou s'en éloigne. 



» h'angle de deux demi-droites, l'une antérieure, l'autre postérieure, 

 menées par le point A, sera, dans tous les cas, le plus petit angle dont il 

 faudra faire tourner la demi-droite antérieure autour du point A, dans le 

 sens direct, pour l'amener sur la demi-droite postérieure. 



» Si l'on considère les deux demi-droites prolongeant, avec leur sens, 

 les deux demi-droites précédentes au delà du point A, leur angle, compté 

 suivant la définition qui vient d'être donnée, sera dit opposé par le sommet 

 au précédent, et l'on voit immédiatement que la somme de deux angles 

 opposés par le sommet, ainsi déjinis , est égale à quatre droits. 



» Dans ce qui suit on considère toujours le contour d'un polygone 

 comme parcouru dans un sens déterminé. Des lors, pour chaque sommet, 

 les deux côtés qui s'y rencontrent constituent, l'un, une demi-droite anté- 

 rieure, l'autre, une demi-droite postérieure, et l'angle du polygone en ce 

 sommet, pris égal à l'angle de ces deux demi-droites, est déterminé sans 

 ambiguïté. 



» Si un polygone est à connexion simple, c'est-à-dire si son contour ne 

 se recoupe pas lui-même, il peut être dit direct ou rétrograde suivant que 

 ce contour est parcouru tians l'un ou l'autre sens. On voit, en appliquant 

 la définition donnée plus haut, que, dans le premier cas, ce sont, en tous 

 les sommets, les angles extérieurs qui doivent être pris ; dans le second, 

 ce sont les angles intérieurs. 



» Si un polygone est à connexion multiple, il peut être décomposé en 

 polygones à connexion simple par le procédé suivant : Partant d'un som- 

 met quelconque, on suit, dans le sens indiqué, le contour du polygone en 



