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ayant soin, chaque fois qu'on an ive à un jjoint de; recoupement, de ne 

 pas le franchir et de s'en éloigner par la demi-droite postérieure qui n'est 

 pas dans le prolongement de la demi-droite antérieure par laquelle on l'a 

 atteint. Lorsqu'on a fait retour au sommet d'oi^i l'on était parti, on répète la 

 même opération en partant du premier des points de recoupement qui 

 n'avaient pas été franchis précédemment, et ainsi de suite jusqu'à épuise- 

 ment de tout le contour du polygone. Les polygones partiels ainsi formés 

 successivement sont tous à connexion simple, et leur nombre fait con- 

 naître l'ordre de multiplicité de la connexion du polygone total. 



» Cela posé, remarquons que, si un polygone à connexion simple, de 

 n sommets, est rétrograde, ses angles étant alors, comme on l'a remarqué 

 ci-dessus, intérieurs, leur somme S, exprimée en angles droits, est donnée, 

 comme on sait, par 



S= in — 4- 



» Par contre, si ce polygone est direct, ses angles étant extéricTirs, leur 

 somme est donnée par 



S = 2rt + 4. 



» Nous dirons que — 4 dans le premier cas, -f- 4 dans le second, est 

 \ excès angulaire du polygone considéré, et nous le représenterons dans 

 tous les cas par t[\, z étant égal à -|- i ou — i suivant que le polygone est 

 direct ou rétrograde. De cette façon, nousaurons dans tous les cas 



S = 2« -+- £4- 



)) Prenons maintenant un polygone à connexion multiple, et décompo- 

 sons-le, suivant le mode qui vient d'être indiqué, en /> polygones à con- 

 nexion simple. Pour ces divers polvgones nous avons 



S, = 2//, -i-ï,4, 



^,,— inp+ S/,4- 



» Si nous faisons la somme de ces p égalités, observons d'abord que la 

 somme S, + Sa -f-. . .+ S^, comprend d'une part la somme S des angles du 

 polygone total, de l'autre la somme de tous les angles des polvgones par- 

 tiels ayant leurs sommets aux divers points de recoupement. En chacun de 

 ces points les angles des deux polygones contigus sont opposés par le 



