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/{:•) étant la fonction méromorphe donnée, G(s) et F(;;) deux fonctions 

 entières, les A„ des constantes et les P„(:;) des polynômes. 



» L'hypothèse la plus simple et la plus naturelle que l'on puisse faire 

 sur ces polynômes consiste à les supposer égaux aux premiers termes du 

 développement suivant les puissances ascendantes de z des fractions ra- 

 tionnelles correspondantes; on posera donc : 



^•(^) = A-(,>é+-^9?> 



m„ étant un entier qui dépend de «; mais il est alors nécessaire de com- 

 pléter le second membre de la formule (i) en y ajoutant une fonction 

 entière H(:;). 



» Que peut-on dire de l'ordre de cette fonction entière H(s), lorsque 

 l'on connaît l'ordre des fonctions entières G(-) et F(^)? C'est une ques- 

 tion qui, à ma connaissance, n'a pas encore été étudiée; voici quelques 

 résultats que j'ai obtenus à ce sujet et dont je publierai prochainement la 

 démonstration dans les Annales de l'École Normale. 



» Si, les/onctions G(z) et F(-) étant d'ordre fini p, la fonction F(g) n'est 

 assujettie à aucune autre condition, on ne peut rien dire de général sur l'ordre 

 rfe H(c) ; la croissance de cette fonction peut dépasser toute croissance assignée 

 d'avarice. 



» Il est possible, en ce cas, de mettre /^( 2) sous la forme 



(2) /(^) = H(^) + 2[R«(=)-Q«(=)]. 



II(^) étant une fonction entière d'ordre au plus égal à p, et les R„(3) des 

 fractions rationnelles dans chacune desquelles le degré du numérateur est infé- 

 rieur à celui du dénominateur etQ„Çz) un polynôme formé d' un certain nombre 

 des premiers termes du développement de l!„(s) suivant les puissances ascen- 

 dantes de z. 



» Mais il n'est pas toujours possible de supposer que chacune des frac- 

 tions R„(z) n'a qu'un seul pôle; il faut pour cela que la fonction entière 

 dénominateur F(z) satisfasse à une certaine condition qui ne dépend pas 

 de G(z) et que l'on peut énoncer en disant que la distribution des zéros 

 deF(:;) est ordinaire. Par définition, on entend par là que, si l'on calcule, 

 pour chaque zéro de F (s), l'inverse du module de la première des déri- 

 vées qui ne s'annule pas, les nombres positifs ainsi obtenus croissent, au 

 plus, aussi vite que le module maximum d'une fonction entière d'ordre p. 



