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 chaque opération de H en une de ses puissances de degré constant et 

 chaque opération non invariante de S permute entre eux quelques-uns des 

 sous-groupes de H. Par suite, le nombre des opérations invariantes de S est 

 égal au nombre d'opérations de la plus haute puissance dans un des plus 

 grands sous-groupes circulaires de H ; et les opérations de S transforment les 



sous-groupes de H suivant un groupe lequel est isomorphe au groupe -» 



où S, est formé par les opérations invariantes de S. Pour que S soit abélien 

 il faut et il suffit que H soit circulaire. 



» B. J'ai examiné récemment tous les groupes non abéliens possibles de 

 l'ordre yo"' (w 'p- l\ei p étant un nombre premier quelconque), qui contien- 

 nent le groupe abélien du type (m — 2,1) et j'ai trouvé qu'il y a seulement 

 sept groupes de cette catégorie lorsque /; > 3. Quatre de ceux-ci contien- 

 nent/;^ — I opérations de l'ordre/? et jP°'"^' (/j — i) opérations de l'ordre />", 

 i<^x<^m — I. Deux autres contiennent //' — i opérations de l'ordre p- 

 et p"^ ' {P — i ) opérations de l'ordre />", 2 <; a <[ m — i . Le groupe restant 

 contient des opérations de l'ordre p™"' el il est bien connu ('). Lorsque 

 p — 3, il y a un groupe de plus, et lorsque p ^ 2 ei m'^ 5, le nombre des 

 groupes de cette catégorie est 17. Quand/; est impair, le groupe d'iso- 

 morphismes du groupe abélien de type (m — 2,1) contient un sous-groupe 

 non abélien d'ordre /)' qui renferme toutes ses opérations d'ordre p. 

 Lorsque /> = 2, les opérations d'ordre 2 de ce groupe d'isomorphismes 

 produisent un groupe d'ordre 32 qui renferme 16 opérations du qua- 

 trième ordre. 



» Chaque isomorphisme d'un groupe abélien à lui-même peut être 

 obtenu en le faisant isomorphe avec un de ses sous-groupes et multipliant 

 les opérations correspondantes (-). Soient S,, S.,,..., S^™ les représen- 

 tants des opérations d'un groupe P circulaire de l'ordre p'" (p étant un 

 nombre premier impair quelconque) et supposons que 



ï-'P/ = H et ^ ' Sa/ = S„+, S„, a=/)'". 



Par suite 



Si Sa+, est d'un ordre plus bas que S^, il est facile de prouver que l'ordre 

 de l'opération ayant S,, comme facteur est égal à l'ordre de S^^j. Quand 



(') BuRNSiBE, Theory of groups of finite order, p. 76; 1891. 



("^ ) Bulletin of the American Mathematical Society, t. VI, p. SSy; 1900. 



C. R., 1901, 1" Semestre. (T. CXXXU, N° 15.) I l8 



