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d'autres périodes que des résidus. C'est à cette question que répond précisé- 

 ment l'exemple rappelé plus haut. 



» Considérons la surface du troisième ordre 



X' + J^ + 2^ = I 



et l'intégrale double relative à cette surface 



(■) // 



y dx dy 



» On peut établir d'abord que cette intégrale rentre dans la catégorie 

 de ce que j'appelle les intégrales doubles de seconde espèce {loc. cit., t. II, 

 p. iSq). D'autre part, la surface étant unicursale, nous pouvons exprimer 

 X, y, z en fonctions rationnelles de deux paramètres u, v; soit, par 

 exemple, 



ou 



t étant une racine cubique imaginaire de l'unité. En substituant dans l'in- 

 tégrale (i), on a, à un facteur numérique près, l'intégrale double de fonc- 

 tion rationnelle de « et f 



(2) fj-^dudv. 



» Cette intégrale double de fonction rationnelle de u et i> n admet pas de 

 résidu, mais nous devons la regarder comme possédant des périodes. Celles-ci 

 s'obtiennent de la manière suivante. En posant 



y=y\ — xU, z = s/\—x^\/i — t' , 

 l'intégrale (i) devient 



// 



Ji — x" dx dt, 



^ yi-t^ 



et l'on trouve immédiatement des périodes de l'intégrale double. Si en 



