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 fonction e''; si l'on y donne à la variable y une valeur déterminée, on 

 obtient une fonction de x qui est comparable, pour la croissance, à une 

 fonction entière à' ordre y, d'après la définition même de l'ordre. Cet ordre 

 est donc variable. Il serait aisé de former des exemples analogues, plus 

 compliqués; citons, par exemple, la fonction : 



» Soit maintenant 



ce go 

 



une fonction entière de deux variables, les A,„ „ étant des nombres positifs 

 tels que la série converge, quels que soient x et y. On peut énoncer le 

 théorème suivant : 



» Théorème I, — Si la fonction entière à coefficients positifs f(^x, y) est 

 telle que, x^ et y^ désignant deux valeurs positives quelconques de x et dey, la 

 fonction entière de x,f{v, y„), soit d'ordre p et que la fonction entière de y, 

 /(■^o' /)' ^o'' d'ordre p', on pourra affirmer que, quels que soient x,, y,, les 

 fonctions entières f(x, y,) et /(a;,, y) sont respectivement d'ordres p et p'. 

 Dans le cas où x, et y, ne seraient pas réels positifs, ou pourrait affirmer 

 que les ordres sont au plus p et p'. 



» Appelons ordre total def(x,y) l'ordre de la fonction entière de t, 

 f{t,l); nous aurons le 



M Théorème H. — Les hypothèses étant les mêmes que dans le théorème I, 

 V ordre total de f(^x,y^ est au plus p + p'. 



M Les résultats précédents s'étendent sans peine aux fonctions entières 

 de plus de deux variables; on peut aussi les étendre à des cas où l'on sup- 

 pose l'ordre infini par rapport à l'une des variables x ou y, mais où l'on 

 donne, cependant, une limite supérieure de la croissance. Par exemple, 

 on peut convenir de dire que l'ordre d'une fonction entière/(z) est infé- 

 rieur à (0, si le module maximum de f{z) croît moins vite que e"', x dé- 

 signant le module de z, que l'ordre de/(^) est inférieur à w-, si ce module 



croît moins vite que e'''\ En admettant ces définitions, on a, par 



exemple, le théorème suivant : 



» Théorème III. — Si la fonction entière à coefficients positifs f(^x, y) 

 est telle que l'ordre def{x,y^) étant p, l'ordre def(x„,y) soit inférieure cj, 

 ^0 «' Jo étant deux nombres positifs particuliers, on peut affirmer que l'ordre 

 def{^x,y^ ) est égal à p, quel que soit le nombre positif y ^ . 



