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MÉCANIQUE. — Sur /a stabilité d'un système animé d'un m,ouvement 

 de rotation. Note de M. P. Duhem. 



« Lagrange a énoncé, en se fondant sur l'étude des petits mouvements, 

 qu'une masse soumise à l'action de forces qui dérivent d'un potentiel est 

 en équilibre absolu stable lorsque le potentiel est minimum ; en réalité, sa 

 démonstration ne prouve ni que la condition soit nécessaire, ni qu'elle soit 

 suffisante; Lejeune-Dirichlet, par une métliode très simple et aujourd'hui 

 classique, a prouvé que la condition était suffisante. 



» Pour étudier la stabilité de l'équilibre relatif d'une masse qui tourne 

 d'un mouvement uniforme autour d'un axe, on s'est servi jusqu'ici de la 

 méthode des petits mouvements; cette méthode prête aux mêmes objec- 

 tions que la méthode suivie par Lagrange dans le cas de l'équilibre 

 absolu. 



» Nous nous proposons de trouver, par un artifice semblable à celui de 

 Lejeune-Dirichlet, un caractère qui suffit, au moins sous certaines condi- 

 tions, à assurer cette stabilité. 



» L Considérons un système dont ^ est le potentiel interne; supposons- 

 le soumis à des actions extérieures dont ù est le potentiel et dont le mo- 

 ment, par rapport à l'axe Oz, est essentiellement nul ; supposons-le 

 tournant autour de cet axe avec une vitesse angulaire o),, la même en tout 

 point ; une masse clémenlaire dm est soumise à une force centrifuge dont 

 les composantes sont X^^^ œ^a;i/w, Yc= u^jrfm, Zc= o; pour obtenir les 

 conditions de l'équilibre relatif, il suffit d'écrire les conditions de l'équi- 

 libre absolu en adjoignant la force centrifuge aux actions extérieuses; en 

 d'autres termes, il suffit que l'on ait, en toute modification isothermique 

 virtuelle, à partir de l'état considéré, 



([) 1{S + Q.)~ d&,= o, 



(2) f/toc = w,t / (^ S^" + J ^y) dm. 



)) Supposons le système animé d'un mouvement quelconque. La vitesse 



d'un point de la masse dm peut se décomposer en une vitesse a)(jî'^+ y)^ 

 normale au plan qui passe par ce point et l'axe des z et une vitesse «p située 



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