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par l'une des valeurs de y quand x est dans cet intervalle. Si x est dans 

 rintervalle (a,, «,+,), r varie entre certaines limites rrii, mi^,, et réciproque- 

 ment si r est entre ttt, et m,^,, x est entre a, et «,+,. De sorte qu'au lieu de 

 se donner la division de la variation de x, c'est-à-dire de se donner les 

 nombres a,, on aurait pu se donner la division de la variation de j', c'est- 

 à-dire les nombres m,. De là deux manières de généraliser la notion d'inté- 

 grale. On sait que la première (se donner les «,) conduit à la définition 

 donnée par Riemann et aux définitions des intégrales par excès et par 

 défaut données par M. Darboux. Voyons la seconde. 



» Soit la fonction y comprise entre m et M. Donnons-nous 



m = nig <C m , ■<W2 < • ■ ■ < ^"^p- 1 <C M = nip ; 



y =^ m, quand x fait partie d'un ensemble £„; mi_,<^y'Smi quand x fait 

 partie d'un ensemble E,. 



» Nous définirons plus loin les mesures !„, 1, de ces ensembles. Consi- 

 dérons l'une ou l'autre des deux sommes 



si, quand l'écart maximum entre deux m^ consécutifs tend vers zéro, ces 

 sommes tendent vers une même limite indépendante des m^ choisis, cette limite 

 sera par définition l'intégrale des y qui sera dite intégrable . 



» Considérons un ensemble de points de (a, b) ; on peut d'une infinité de 

 manières enfermer ces points dans une infinité dénombrable d'intervalles; 

 la limite inférieure de la somme des longueurs de ces intervalles est la 

 mesure de l'ensemble. Un ensemble E est dit mesurable si sa mesure aug- 

 mentée de celle de l'ensemble des points ne faisant pas partie de E donne 

 la mesure de (a, b) ('). Voici deux propriétés de ces ensembles : une in- 

 finité d'ensembles mesurables E,- étant donnée, l'ensemble des points qui 

 font partie de l'un au moins d'entre eux est mesurable; si lesE, n'ont deux 

 à deux aucun point commun, la mesure de l'ensemble obtenu est la somme 

 des mesures E^-. L'ensemble des points communs à tous les E, est mesurable. 



» Il est naturel de considérer d'abord les fonctions telles que les 

 ensembles qui figurent dans la définition de l'intégrale soient mesurables. 

 On trouve que : si une Jonction limitée supérieurement en valeur absolue est 



(') Si l'on ajoute à ces ensembles des ensembles de mesures nulles convenablement 

 choisis, on a des ensembles mesurables au sens de M. Borel {Leçons sur la théorie des 

 fonctions). 



