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telle que, quels que soient A et B, l'ensemble des valeurs de x pour lesquelles 

 on a k <[ ySB est mesurable, elle est intégrable par le procédé indiqué. Une 

 telle fonction sera dite sommable. L'intésjrale d'une fonction sommable 

 est comprise entre l'intégrale par défaut et l'intégrale par excès. De sorte 

 que, si une fonction intégrable au sens de Riemann est sommable, l'intégrale 

 est la même avec les deux définitions. Or , tome fonction intégrable au sens 

 de Riemann est sommable, car l'ensemble de ses points de discontinuité est 

 de mesure nulle, et l'on peut démontrer que si, en faisant abstraction d'un 

 ensemble de valeurs de x de mesure nulle, il reste un ensemble en chaque 

 point duquel une fonction est continue, cette fonction est sommable. 

 Cette propriété permet de former immédiatement des fonctions non inté- 

 grables au sens de Riemann et cependant sommables. Soient /(a?) et (p(^) 

 deux fonctions continues, <p(a;) n'étant pas toujours nulle; une fonction 

 qui ne diffère de /(a;) qu'aux points d'un ensemble de mesure nulle partout 

 dense et qui en ces points est égale kf(x) -h '^{x) est sommable sans être 

 intégrable au sens de Riemann. Exemple : La fonction égale à o si a; irra- 

 tionnel, égale à I si a; rationnel. Le procédé de formation qui précède 

 montre que l'ensemble des fonctions sommables a une puissance supé- 

 rieure au continu. Voici deux propriétés des fonctions de cet ensemble. 



» 1° Si f et (f sont sommables, f-h 9 et /(^ le sont et l'intégrale de /-h (p 

 est la somme des intégrales de y^et de ç. 



M 2° Si une suite de fonctions sommables a une limite, c'est une Jonction 

 sommable. 



M L'ensemble des fonctions sommables contient évidemment y z= k el 

 y ^ x; donc, d'après i", il contient tous les polynômes et comme, d'après 

 2", il contient toutes ses limites, il contient donc toutes les fonctions con- 

 tinues, toutes les limites de fonctions continues, c'est-à-dire les fonctions 

 de première classe (voir Baire, Annali di Matematica, 1899), il contient 

 toutes celles de seconde classe, etc. 



» En particulier, toute fonction dérivée, limitée supérieurement en valeur 

 absolue, étant de première classe, est sommable et l'on peut démontrer que 

 son intégrale, considérée comme fonction de sa limite supérieure, est une de ses 

 fonctions primitives. 



» Voici maintenant une application géométrique : si \f'\, |cp'|, |^'| sont 

 limitées supérieurement, la courbe 



^=/(0". j==?(0' 2 = ^(^) 



a pour longueur l'intégrale de \//" + cp'^ -H '}'". Si ç = li = o, on a la varia- 



