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tion totale de la fonction / à variation limitée. Dans le cas où /', ç', <]/' 

 n'existent pas, on peut obtenir un théorème presque identique en rem- 

 plaçant les dérivées par les nombres dérivés de Dini. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les intégrales analytiques des équations 

 différentielles du premier ordre dans le voisinage de conditions initiales 

 singulières. Note de M. Henri Dulac, j)résentée par M. Painlevé. 



« X et Y étant des fonctions de x et de y holomorphes et nulles pour 

 T = ■>' = o, considérons, dans le champ complexe, aux environs des valeurs 

 singulières ce ^ y =^ o, les intégrales de l'équation 



(i) X^r + Y^/.r = o. 



On connaît divers résultats relatifs au cas où le point singulier est un point 

 d'intersection sim|)le des courbes X =^ o, Y = o. Je me propose de recher- 

 cher dans quelle mesure on peut étendre ces résultats aux autres cas. 



» Soient : n l'ordre minimum des fermes de X et Y, P et Q l'ensemble 

 de ces termes d'ordre n de X et de Y(P ou Q peut être nul). Le point sin- 

 gulier sera dit d'ordre n. 



» I. Recherche des intégrales algébroïdes passant par l'origine. — A la mé- 

 thode de Briot et Bouquet je substitue la métliode suivante, qui permet 

 aussi d'obtenir toutes ces intégrales. Cette méthode, ainsi que je l'ai con- 

 staté récemment, ne diffère guère que par des détails d'exposition d'une 

 méthode employée par M. T. Bendixson. 



» L'équation homogène yP -f- a Q = o fournit, pour -> (n -f- i) valeurs 



égales ou inégales. Soit a une de ces valeurs; deux cas peuvent se pré- 

 senter : 



» 1° La valeur - = a n'annule pas à la fois PetQ. En posant y = x(t -ha) 



on met en évidence une seule intégrale holomorphe, quel que soit l'ordre 

 de multiplicité de a. On permute les rôles de a- et de y pour étudier les 

 intégrales tangentes kx = o; 



» 2° La racine a, d'ordre de multiplicité r, annule à la fois P et Q. Le 

 même changement de variable nous ramène à l'étude d'une équation 

 pour laquelle a; = / = o est un point singulier au plus d'ordre r. Cette 

 équation, outre l'intégrale o; = o, qui ne fournit pas d'intégrale pour (i). 



