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peut admettre r autres intégrales algébroïdes. Je traite l'équation en a; et ^ 

 comme l'équation (i) et' je finis par arriver ou bien à des équations met- 

 tant en évidence des intégrales algébroïdes, ou bien à des équations de la 

 forme 



a;*^ = y((x-t- . . .) -f- .^(îî + . . .), *>i, a :/: o, 



qui, on le sait, n'ont pas, en général, d'autres intégrales holomorphes 

 que a7 = o. S'il existait d'autres intégrales que a; = o, nous ne compterions 

 pas les intégrales qu'elles fourniraient pour l'équation (i) parmi celles 

 dont il s'agira dans la suite; d'abord, parce que ces intégrales jouent un 

 rôle différent des autres, ensuite parce que leur existence est incertaine. 



» En général, nous aurons, pour (i), (« + r) intégrales algébroïdes. 

 Une intégrale ayant l'origine pour point multiple d'ordre q comptera pour 

 q intégrales. 



» II. Recherche de l'inlégrale dans certains cas particuliers . — Je n'exa- 

 mine que le cas où l'équation admet {n -f- i) intégrales algébroïdes. 



» Soient A = o, B = o, ... ces intégrales. On peut chercher s'il n'y a 

 pas une intégrale générale de la forme 



(2) H(^,j)A^Bi^C'... =const., 



H étant liolomorphe et non nul pour x ■= y ^= o. 



» On détermine aussitôt les valeurs (possibles) de >., p., v; mais, en gé- 

 néral, on rencontrera dans la détermination des coefficients du dévelop- 

 pement de \l(^x, y) des impossibilités. Pour que cette détermination soit 

 possible, il faut qu'une suite indéfinie de conditions soit satisfaite. Admet- 

 tons que cela ait lieu ; trois cas peuvent se présenter suivant les valeurs 

 des rapports des exposants >., rj., v : 



M 1° Les rapports ne sont pas tous positifs. Le développement obtenu 

 pour H est convergent. Il y a une infinité d'intégrales non algébroïdes 

 passant par l'origine. 



» 2° Les rapports sont positifs et ne sont pas tous commensurables . Le dé- 

 veloppement peut être divergent. On ne peut affirmer s'il y a ou non 

 d'autres intégrales que les intégrales algébroïdes. 



» 3° Les rapports sont positifs et commensurables. Le développement est 

 convergent. Il ne passe par l'origine que les intégrales algébroïdes. 



» III. Existence dans la plupart des cas d'une infinité d'intégrales non 

 algébroïdes . — Deux cas ont été laissés de côté : 1° le cas général, celui où 



G. R., 1901, I" Semestre. (T. CXXXII, N» 17.) l33 



