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A = 1, ...,/; i=:x, ...,t— i;j = j, ...,t — i; k=i, ...,t—j; l=i, ...,t; 

 J parcourant les générateurs de F ; ^, ceux de G (hors de F); y, un sys- 

 tème de restes de G mod, F; y', y", gi étant dans G (hors de F)',Jh,/i,i+,, 

 fjj+k, dans F. 



» Ces équations jointes à celles de G définissent H,. 



» En prenant pour G le symétrique de degré 2 ou l'alterné de degré 3, 

 on obtient immédiatement pour le symétrique et l'alterné de degré t les 

 systèmes d'équations trouvés autrement par M. Moore. Ces systèmes équi- 

 valent respectivement à (e ^ i[i — ( — i)'])- 



b' = a'' = {ah-' aby = {ab-'' ab'^y = ^ , a; = 2, . . . , i(< — s); 



h'-- = al = a] = (a,a,y = (a, b'' a, by = {a, b-^a, b>y = (a, b-'a,b'y = i , 



y= 2, ...,{(; — 2 —e); z — i,.. .,{{t — 2 — e). 



» En prenant pour G le groupe de degré ig et d'ordre 48 engendré par 



ab.cf.dg.eh.im.kn.lo.pq = %, = ^,, ac.bf.di.ek.gm.hn.lp.oq = a^ = Pa, 

 ad. bg.ci.el.fm.ho.kp.nq = a,, ae.bh.ck.dl.fn.go.ip.mq = a.^, 



rst. bcf. del. hpm . ino . kqg = a^ 



[défini par af=i, a,3C;t= aAa,(i, A" = i, 2, 3, 4), a.'=i, «„V,a(,= a,, 

 a„'a2a,o= oc.ao, a.~' :x.^Xf, = 0L^, a;'a^ao=a3aJ ot en adjoignant les substi- 

 tutions 



"C = ua.rb.sf.tc.de.hm.in.gk, p =^ vu.rs.el.in.mp. cq.bg. fk, 



n = wv.st.cf. in.de. gh.pq.km, t =^yv(>.rs.bf.in.gk.dh.em.lp, 



u = zy.rs. bc.mp.gq.do.il. en, 



on obtient un groupe cinq fois transitif de degré ■2\ {cj. Mathieu, Liouville, 

 1873) qui, en posant = a^a^, d'où «3 = CK(^9)~'. «, = Q-'ajô, (t^— a^Ô, 



et |Î3 = («,■()% [î, =:(a37.„)-'a,7.3ao, est défini par 



pf=r. p,p,= p,e,,. !:^ = 0' = (^6)^=1, «U-=i,2,3,4. 



^3,(: = p,p3, cp,c = s,P3p„ ^P3^ = P3, (:?4^ = P4. 



(pO' = (p='oP3)'=(P=^o)^=(P*3r=I. (?'^.)^=«3, (pP,)^=:?,«3«.. 



(a0^=(5p)'=(<7a„)^ = (ffp,)' = i' ('^P2)'=P.. 5X3^ = a„ 



(TO'=(Tp)^=(T<îy=(Tx„)^=(Tp,)'=i' (^P.)'=P., Ta,T=p,a„ 



(up)='=(uT)'=(ua„)*=I, (ut)^^*.^, u^u = «;'C«o. 



