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» On voit que le groupe d'ordre 960 fixant quatre symboles est de la 

 forme BI, B = (p,, p,, Pj, p^) étant invariant et I icosaédral; B a les sys- 

 tèmes d'intransitivité a, b, c, f; d, g, i, m; e, h, k, n; r. s, t, u. 



» On peut exprimer assez simplement a^, a,, a^, a.^, a^, ^, p, <;, t par a, 



et CO = T(Tp(^(oj' = l). 



f) En prenant pour G le groupe semi-métacyclique d'ordre {p(p — i) 

 (p premier) et de degré p, on trouve que le seul groupe deux /ois transitif 

 de degré p -h i et d'ordre ^ p(p^ — i)(/) > 2) est le groupe modulaire, sauf 

 si p =: ']. Les équations du groupe modulaire sont 



P-' 

 aP == è ' = c^* = I , b-'ab^a"', cbc = b-\ cac = a«''*' c^/?+^"'-'-^^' a»'^""' 



( aracine primitive quelconquedeyj; pentier quelconque; £ = 4 i — ( — ) )' 



la dernière permettant d'éliminer b. Si, pour/7 =; n, on prend a == 3, p ^ o, 

 on retrouve les équations de M. Dyck. Le seul autre groupe de degré 8 

 et d'ordre 168 deux fois transitif est engendré par 1284567 ^ a, 

 235.476= b, 18. 24.37. 56 = c, et défini par a' = è' = c^^ i, b~' ab := a^, 

 cbc = b, cac = a^ ca^ . Il contient un diviseur normal d'ordre 8 formé des 

 ar'ca^ et de l'unité. 



)> En prenant pour G un groupe cyclique d'ordre/)" — i , on obtient un 

 seul groupe deux fois transitif de degré p" et d'ordre />"(^" — i). Il est 

 défini par 



aP"-' = è^' = I , béb^a^'bé, g^^i — ^(modp), 



n = l-^ + ^{p"-i)[i-(-ry], 



g étant une racine primitive quelconque de g-''"~'^i (modp) et ^ par- 

 courant une série de valeurs telles que les équations répondant aux 

 valeurs restantes (modp" — i) de ^ résultent du système. Ainsi, pour 

 p =: 1 et /i = 3, 4? 5, 6, 7, il suffit de faire ^ = i et l'on peut prendre res- 

 pectivement ^ ^ 3, 4» 18, 6, 7 ; si d'ailleurs, pour jo = 2, on peut trouver 

 g tel que Ç <[ 2/2, il résulte d'un théorème de M. Burnside qu'il suffit de 

 faire ^ = i . Pour p = 3, /i = 2, il suffit de faire ^ = i et l'on peut prendre 



C=2. 



» Le groupe de degré p"-+-i, d'ordre p"(p-" — i) = N, trois fois tran- 

 sitif de Mathieu sera défini si l'on joint aux équations précédentes 

 c^= (ca)- = (ce)' = I. Pour/» = 2, « = 3, N = 5o4. on obtient ainsi 

 (a = cb,b = ad^a^da-) a^ = f/'= (d-a'day = (dad-a)- = (d^'ad-a'y = 1, 



