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Pour le démontrer, nous considérons la surface cherchée comme engen- 

 drée par l'axe Os d'un trièdre trirectangle Oxyz. L'origine O étant placée 

 au point central de la génératrice, prenons pour plan des xz le plan 

 tangent en O à la surface. Ce choix du trièdre est toujours permis, sauf 

 dans le cas où la surface admettrait un plan directeur isotrope, hypothèse 

 que nous écartons. Soient E,7), Ç,yD, «7, r les translations et les rotations du 

 trièdre : ce sont des fonctions d'une variable t et deux d'entre elles sont 

 nulles, savoir n et q. Dans le cas des surfaces développables, on a, en outre, 

 ^ = et le plan tangent à la surface le long de Oz coïncide avec le 

 plan zOy. 



» Soient a;, j, z les coordonnées relatives d'un point fixe P pris arbi- 

 trairement dans l'espace; sa projection H (O, O, z) sur la génératrice Oz 

 décrit par hypothèse une courbe tracée sur une sphère de centre 

 C(X,Y,Z). 



» Les points P et C étant fixes, on a 



■■ — l-hrY, 



= -^-pY. 



» Nous exprimerons que le point H se meut en restant aune distance con- 

 stante du point C en écrivant que la vitesse de ce point est perpendiculaire 

 au segment CH; d'où l'équation 



(2) XI- Ypz — Zpy -^pyz = o. 



» Si l'on dérive cette équation trois fois de suite et qu'on remplace les 

 dérivées des variables x, y, z, X, Y, Z par leurs valeurs (1), on obtiendra 

 trois nouvelles relations linéaires en X, Y, Z. L'élimination de X, Y, Z 

 entre ces équations et l'équation (2), donne, sous forme d'un déterminant A 

 égalé à zéro, une relation qui doit avoir lieu quels que soient x, y, z, t. 



n Traitons d'abord le cas des surfaces développables. Si l'on introduit, 

 dans l'équation A =: o, l'hypothèse Ç = o, et qu'on fasse en outre x = y = o, 

 il viendra 



-"(^'+ des termes renfermant s) = o. 



Le polynôme entre parenthèses doit être identiquement nul; il faut donc 

 que l'on ait C = o. Par suite, le point O est fixe et la surface est un cône. 



