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 » Occupons-nous maintenant des surfaces gauches et, à cet effet, faisons 

 dans l'équation A = o, j=s = o, nous obtiendrons l'équation 



?,(rKv'' -+- des termes de degré inférieur) = o. 



l n'étant pas nulle, le second facteur l'est identiquement et l'évanouissement 

 du coefficient de x^ donne r=o. Cette condition, jointe à la condi- 

 tion q ^ o, indiquée plus haut, nous permet de conclure que la surface 

 cherchée admet un plan directeur. 



» Rapportons la surface à un système de trois axes rectangulaires, le 

 plan des xy étant pris parallèle au plan directeur, et soient 



(g) z = a., y = mx-^^ 



les équations d'une génératrice variable de la surface. Tous les points situés 

 sur une même parallèle à l'axe des z ayant même projection sur cette géné- 

 ratrice, il suffira de s'occuper des points du plan des xy. 



» Pour déterminer la forme nécessaire des expressions de a et de ^ en 

 fonction de m, écrivons que les projections des points P, (a;,,y,, o), 

 J^2(^u>j2. o) sur la génératrice ^appartiennent respectivement aux sphères 



(S,) X- + V-+ :;- + lax ■+- zby + 2C3 + rf = o, 



( So ) X- -+- y- -I- 3- + 2 a'x + 2 b'y -h 2c' z-h cl' = o; 



il viendra, P, Q, R, P', Q', R' étant des constantes, 



a 



'(i -h m^) -T- <j!>-m- -h iT-c (i -+- m^) -t- 2fi(am- -f-Z») = P/w- + 2Qm + R, 

 <x-(i + m-) + ri-OT- + 2xc'(i +m-) -|- 2S3(a'/n= + ^')= P'm-+ 2Q'm + R' 



et ces équations donneront les valeurs des inconnues a et (i. 



» Exprimons maintenant que la projection du point {x^,y^, o), pris 

 arbitrairement dans le plan, appartient à la sphère 



X- -i-y- + z- -+- -la" x + 2 b" y + le" z + cl" = o. 



Il en résulte la condition 



a,-(i + m-)-t- pTO- -H 2ac"(i + *M-)-H 2 li(a"ni' +6") = P'7«- -+■ 2Q"m4- R". 



» Si l'on porte, dans celte égalité, les valeurs trouvées pour a et 8, on 

 obtiendra une relation qui devra avoir lieu pour toutes les valeurs de m; 

 on tirera de là un certain nombre de relations entre x^, y^, a", b" , c" , cl" et 

 les quantités analogues relatives aux couples (P,,S,), (P^, Sa). Éliminons 



