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a ses points singuliers sur la spirale 



I — zye ^ ^ o si a > o 



et sur la spirale 



\ — zye =0 SI a<;o. 



Celte proposition est susceptible d'une grande généralisation; seulement 

 ici les points singuliers de la fonction sont moins bien déterminés par la 

 série de Taylor; cette proposition s'énonce ainsi : 

 » Étant donnée une série de Taylor 



si la fonction A (a?) est holomorphe à l'infini à l'intérieur d'un angle aussi 

 petit que l'on veut, d'ailleurs, dont le sommet est l'origine et qui contient 

 l'axe des quantités réelles positives, la fonction f{z) n'admet sur son 

 cercle de convergence comme point singulier que le point s = i; sous la 

 simple condition à laquelle satisfait h.{x), le cercle de convergence de la 

 série de Taylor n'est donc jamais une coupure pour/(^); il est, de plus, 

 possible d'avoir immédiatement la représentation de /"(i;) à l'intérieur 

 d'une région plus étendue que son cercle de convergence. 

 » La foncliony(s) s'écrit, en effet, 



OÙ a,' = - — a, jî'= - — p, les angles a. et p étant les angles des rayons 



limites qui, de part et d'autre de l'axe des quantités réelles positives, 

 limitent la région oîi A(.r) est holomorphe à l'infini. 



» Nous avons développé la correspondance qui existe entre les circon- 

 stances du point singulier essentiel de A(a;) à l'infini et la nature analy- 

 tique dey(:;). Ceci peut se compléter lorsque A (a:) admet seulement un 

 pôle d'ordre k à l'infini : 



» Étant donnée une série 



f{z)=^A(n)z", 



