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 où (X n'est pas nul. Je puis, sans restreindre le problème, assujettir (p et i{/à 

 contenir z en facteur; c'est ce que je ferai afin de pouvoir établir la notion 

 d'intégrale isolée. Le problème est encore indéterminé; on peut en profiter 

 pour donner à tp et (j/ des formes très simples. Je détermine, au moyen de 

 calculs algébriques, les polynômes 9 et <j> et ensuite autant de coefficients 

 que je veux de (3). 



» Les intégrales d'une équation (3) autres que z — q fournissent des 

 intégrales de (i). Pour les étudier, je distingue différents cas : 



» 1° n = o. — C'est un cas particulier. L'équation (3) fournit pour (i) 

 une infinité d'intégrales algébroïdes dépendant d'une constante; 



» 1° n — \. — C'est le cas général. Si a est négatif, il y a une seule 

 intégrale. Si a est positif, il y a une infinité d'intégrales développées sui- 

 vant les puissances de z et Cs«, C étant une constante. Si a est un entier 

 ou l'inverse d'un entier, on peut toujours être ramené au cas où a est 

 entier; les intégrales sont développées suivant les puissances de z et 

 Cslogs; 



» 3° « > I . — Il y a toujours une intégrale tendant vers o avec z. Il y 

 en a ou non une infinité d'autres suivant que as""' est positif on négatif. 

 Ce dernier résultat a déjà été donné par M. J. Bendixson. J'ajoute que 

 l'on peut trouver une courbe algébrique ayant avec les intégrales fournies 

 par (3) un contact d'ordre aussi élevé que l'on veut. 



» Les intégrales dont il vient d'être question seront dites de première 

 catégorie. Je compterai parmi elles les intégrales singulières multiples, s'il 

 en existe, mais non les intégrales singulières ordinaires. 



» Si une équation (3) ne fournit qu'une intégrale, celle-ci sera dite inté- 

 grale isolée, de même qu'une intégrale singulière multiple. 



» Etude des autres intégrales. — Je vais étudier les intégrales correspon- 

 dant aux diverses déterminations de y'. Je considère, dans le pian réel 

 x,y, un cercle n'ayant à son intérieur d'autre point singulier que, peut- 



être, l'origine. 



y) l. La détermination dey' que Von considère est une fonction uniforme 

 tout le long de ce cercle. — i'' S'ily a des intégrales de première catégorie cor- 

 respondant à cette détermination, il n'y a pas d'autres intégrales passant par 

 l'origine. Les intégrales isolées divisent le voisinage de l'origine en régions. 

 Si l'une de ces régions ne contient pas d'intégrales de première catégorie, 

 les caractéristiques qui y passent présentent la disposition de branches de 

 courbes asymptotes aux intégrales isolées. Dans le cas contraire, toutes les 

 intégrales de la région passent par l'origine. 



