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» 2° // n'y fi pas d' intégrales de première catégorie, — Les caractéris- 

 tiques sont des spirales ou des cycles entourant l'origine. Pour qu'il y ait 

 des cycles, il faut qu'une infinité de conditions soient remplies, mais ces 

 conditions ne paraissent pas, en général, susceptibles d'être exprimées 

 algébriquement. 



M II. La détermination de y' considérée n est pas uniforme . — Soit R(a7,j')=o 

 la condition qui doit être satisfaite pour que deux valeurs de y' soient 

 égales. La détermination y', considérée deviendra, pour un point de la 

 courbe R, égale à une autre détermination j)^,,, qui elle-même pourra devenir 

 égaleà r'j, etc. Nous aurons ainsi r valeurs dejj^'se permutant. Les caracté- 

 ristiques correspondant à ces déterminations pourront présenter différents 

 arcs séparés ou non par un point de rebroussement, suivant que la branche 

 delà courbe R = o qu'elles atteignent n'est pas ou est une intégrale singu- 

 lière. 



)) 1° A ces déterminations de y' correspondent des intégrales de première 

 catégorie. — Si l'on suit une caractéristique, les r déterminations de y' ne 

 se permutent pas indéfiniment. Les caractéristiques, après avoir décrit 

 diflérents arcs autour de l'origine, finiront par être analogues aux intégrales 

 de L Les résultats de i" sont valables. 



)) 2" // n'y a pas d' intégrales de première catégorie correspondant à ces 

 déterminations. — Les r déterminations se permutent indéfiniment. Les 

 caractéristiques sont composées d'arcs dirigés tantôt dans un sens, tantôt 

 dans l'autre. En général, si l'on parcourt une caractéristique dans un sens 

 convenable, on tend vers l'origine, mais il peut se faire qu'on revienne au 

 point de départ et qu'on ait un cycle. Suivant que r est impair ou pair, le 

 rayon vecteur qui va de l'origine aux points de la caractéristique parcourt 

 tout le plan ou n'en parcourt qu'un secteur. 



» Il peut exister une branche de R tout le long de laquelle q détermi- 

 nations de y' deviennent égales et se permutent, dans le domaine com- 

 plexe. Si q est impair, une seule de ces déterminations étant réelle, on 

 peut la considérer comme une fonction uniforme dans le domaine réel 

 voisin de R. Si q est pair, on sera dans le cas IL 



» Pour distinguer dans lequel des cas i" et i° de I et II on se trouve, je 

 pose X = pcosw, y = psinc»; l'équation (i) devient cp(p, to, p') = o, et je 

 construis la courbe (p(o, to, p'), co et p' étant regardées comme les coordon- 

 nées d'un point. 



» Les résultats obtenus permettent d'étudier les caractéristiques de (i) 

 dans une région plus ou moins étendue du plan, lorsque f est, par 



