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 exemple, un polynôme en x et y. En particulier, on peut, si l'une des 

 déterminations y' devient infinie pour a; =; o et y quelconque, décider si 

 une caractéristique correspondante tend ou non vers une limite lorsque x 

 tend vers zéro. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur certaines relations involutives . 

 Note de M. Maurice Lelieuvre, présentée par M. Painlevé. 



« Cette Note se rapporte aux relations entières et symétriques (ou invo- 

 lulives) par rapport à p variables x, y, ■■■, t, relations qui se rencontrent 

 dans certains problèmes de Géométrie et qui sont caractérisées par la pro- 

 priété d'être vérifiées par tout groupe de p quelconques des m racines 

 d'un polynôme entier /"(a;); j'appellerai ordre de la relation son degré par 

 rapport à chaque variable et je dirai que le po\y nome /(x^ y satisfait. 



» I. Soit d'abord le cas simple d'une relation 'R(x,y) =^ o d'ordre q entre 

 deux racines x et y (q^m — i). On peut, en divisant R(x,y) successi- 

 vement par f(x) el f(y), remplacer la relation par une autre S(œ,y) = o, 

 d'ordre m — i ; soit alors a une racine quelconque dey"(a;) : les deux poly- 



f(w) 

 nomes S(x,a) et -^ _ doivent avoir les mêmes racines et leur quo- 

 tient <f{a) est entier en a; alors les polynômes (^— j) S(a7, y) — y(a;) cp(j) 

 et f(y) ont, quel que soit x, les mêmes racines en y; en partant de là et 

 en tenant compte de la symétrie de Ii{x,y), on arrive immédiatement à la 

 formule 



dans laquelle <f{x) est un polynôme entier de degré m — i . Si l'on revient 

 alors à R(x,y) = o, on voit qu'elle peut se mettre sous la forme 



(2) ^^^^^^^ /i^)'^(-,.r)-Ay)'^ii,-^) , 



X y 



^(^x,j) étant un polynôme entier de degré q — m -\- i en x ei q -\- i eu y. 

 » Considérons particulièrement la lelation (i) et cherchons tous les 

 polynômes F(a;) de degré m qui y satisfont : si a est une racine d'un tel 

 polynôme, il peut s'écrire 



¥ {x)^{x — a) ^{x, a)^f{x) (p(rt) —/(a)<f(x). 



