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» Donc, il appartient au faisceau linéaire \f(oe) -+- [/. ç(^), et, récipro- 

 quement, il est manifeste que tout polynôme de ce faisceau satisfait à la 

 relation (i) : ainsi tous les polynômes de degré m qui satisfont à la relation (\) 

 sont en involution. 



» On aperçoit immédiatement l'application de ce théorème aux poly- 

 gones de Poncelet : s'il existe un polygone proprement dit de m côtés 

 inscrit dans une conique C et circonscrit à une autre, un des sommets du 

 polygone détermine les m — i autres d'une manière unique : donc, entre 

 les paramètres fixant individuellement sur C deux sommets quelconques 

 doit exister une relation de la forme (i) : par suite, il y a une infinité de tels 

 polygones dont les sommets forment sur C une involution d'ordre m {' ). 



» II. La recherche d'un polynome/(a;) de degré donné qui satisfait à 

 une relation involutive (2) dépend des équations qui lient les coefficients 

 du polynôme et ceux de la relation : elles résultent de l'élimination des 

 coefficients du polynôme ^(x,y) entre des équations qui les renferment 

 linéairement; la question, très simple dans le cas particulier de la 

 forme (i), est assez compliquée en général. Dans tous les cas, si l'on 

 désigne par A^, le coefficient du déterminant (x^y) dans le produit 

 (œ —y)R(x,y), les quantités T = A^^A^H- A^^Ap^H- A^pA,, jouent dans le 

 problème un rôle fondamental : elles sont toutes nulles dans le cas de la rela- 

 tion (1). Si cela a lieu pour la relation (2), elle prend la forme (i), 

 Q(x, y) se décomposant en un produit de deux fonctions entières, l'une 

 de œ, l'autre de y, et il y a une infinité de polynômes F(x) qui y satisfont et 

 qui sont les diviseurs de degré m des polynômes de degré q -+- 1 d'un faisceau 

 linéaire >,P(.r) + ['■Q(x) : c'est un cas étendu où une infinité de polynômes 

 de degré m satisfont à la relation, mais ce n'est pas toujours le seul. 



» Par exemple, s'il existe un tétraèdre inscrit dans une cubique gauche T 

 et conjugué par rapport à une quadrique 9, il y en a une infinité dont les 

 sommets forment sur T une involution du quatrième ordre; il y a, en 

 général, seulement deux triangles inscrits dans T et conjugués par rapport 



(') Par une méthode toute différente, M. Darboux. {Sur une classe remarquable 

 de courbes et de surfaces algébriques. Note II, Sur les polygones de Poncelet, 

 p. i83) est arrivé à la forme (i) de la relation entre les paramètres de deux sommets 

 (ou côtés) et en a déduit le théorème de Poncelet. Voir aussi une observation 

 de M. Humbert {Bull. Soc. math., p. 69; 1899) et des vérifications de MM. Bricard 

 {Bull. Soc. math., p. 96; 1898) et Lelieuvre {Enseignement mathématique, 

 mars 1901). 



