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 à ip : en supposant irréductible la relation involutive correspondante, il n'y en 

 a une infinité que si cette relation prend la forme (i) : les triangles sont 

 alors les faces des tétraèdres précédents; l'équation aux paramètres sur la 

 cubique des sommets de chaque triangle dépend d'une arbitraire au troi- 

 sième degré. Pour qu'il existe un tétraèdre inscrit dans r et dont les arêtes 

 soient tangentes à cp, deux relations de condition sont nécessaires : il ne peut y 

 en avoir une infinité que si la relation involutive correspondante, supposée 

 toujours irréductible, est de la forme (i) : les sommets de chaque tétraèdre 

 appartiennent alors à une involulion du cinquième ordre tracée suri, et 

 l'équation aux paramètres de ces sommets dépend d'une arbitraire au qua- 

 trième degré : dans ce cas, il y aura une infinité de triangles inscrits dans F 

 et circonscrits à <p; mais cela peut arriver autrement, par exemple si «p est 

 un cône, auquel cas tout plan tangent à ce cône coupe Faux sommets d'un 

 triangle qui répond à la question. 



» III. On peut étendre la méthode aux relations renfermant plus de 

 deux racines. Soit, par exemple, une relation d'ordre m — i entre trois 

 racines; par un raisonnement analogue à celui du paragraphe I, on arrive 

 à la forme suivante de la relation : 



K(^,r, .) = _________ 



dans laquelle (p(a7, j') désigne une fonction symétrique Qx\\SkxQ à& x &\. y , 

 d'ordre m — i. 



» Les relations entre les coefficients d'un polynôme /(a?) satisfaisant à 

 la relation et les coefficients A^^^ des déterminants (x^yz'^') dans le pro- 

 duit {y — z)(s — ^)(- — J')R(^» J' ^) s'obtiennent à l'aide des coeffi- 

 cients B^^ des déterminants (aj^j^) dans le produit (a^ — r)(p(a7, j) : on 

 démontre qu'î7 ne peut y avoir une infinité de polynômes /{x) de degré m 

 satisfaisant à la relation que si ce produit est réductible à la forme alternée 

 'K^)5C(j') ~ '}'(j)x(^)' ^^'^^^ l^^ polynômes cherchés sont ceux d'un réseau 

 linéaire l/{x) -h \i.'\i(x) -*- vy(x). 



» Par exemple, il y a généralement un seul tétraèdre inscrit dans une 

 cubique gauche et circonscrit à une quadrique; dès qu'il y en a plus d'un, 

 il y en a une infinité, dont les sommets forment sur la cubique une invo- 

 lution du quatrième ordre n deux varamètres, ou de seconde espèce. « 



