( "75 ) 



BALISTIQUE. — Sur un problème, de d'Alembert. 

 Note de M. F. Siacci. 



« Pour que les équations du mouvement d'un projectile dans un milieu 

 résistant se ramèrtent aux quadratures, la résistance étant supposée direc- 

 tement contraire à la vitesse et fonction de la seule vitesse, il faut intégrer 

 l'équation 



(i) ûfMCosO — ?/(p + sin6)c?9 = o, 



où u est la vitesse, 9 l'angle qu'elle fait avec l'horizon, p le rapport de la 

 résistance au poids du projectile. D'Alembert chercha des formes de la 

 fonction p permettant cette intégration, et il en trouva quatre : 



p = o + ha", p = a -h b \ogu, 



p = au" -h R -H bw", p = a(loguy -\-R\ogu -+■ b, 



avec deux ou trois constantes chacune, car dans les deux dernières for- 

 mules les quantités a, b, R, n et a, b, R sont respectivement liées par une 

 équation. Avant d'Alembert on ne connaissait que le seul cas p = au" 

 résolu par Jean Bernoulli. D'Alembert après avoir indiqué ces cas ajoute : 

 K Je ne prétends pas, au reste, qu'il n'y ait que ces seuls cas où la trajec- 

 » toire soit constructible; mais je laisse à ceux qui aiment ces sortes de 

 » calculs à pousser plus loin leurs recherches là-dessus ». (D'Alembert, 

 Traité de V équilibre et du mouvement des fluides, Paris, p. SSg ; i 744- ) 



» L'appel est resté sans réponse, que je sache. Le problème de d'Alem- 

 bert pourtant ne manque pas d'intérêt, même au point de vue pratique. 

 Si l'on connaissait bon nombre de fonctions p contenant plusieurs con- 

 stantes arbitraires et permettant l'intégration de (i), on pourrait espérer 

 d'y trouver une fonction p s'accordant avec la résistance donnée par les 

 expériences. La fonction a -t- bu, par exemple, qui rentre dans les cas de 

 d'Alembert, représente une loi de la résistance de l'air, signalée récem- 

 ment par M. le colonel Cbapel (^Comptes rendus du lO décembre 1894); 

 mais la loi de Cbapel ne vaut que pour les hautes vitesses. Le problème de 

 d'Alembert d'ailleurs fait abstraction des conditions pratiques, et comme 

 problème d'analyse, il pourrait bien appeler l'attention des géomètres. 



» En attendant, je donne ici quelques nouveaux cas d'intégrabilité. 

 Trois des nouvelles fonctions p contiennent quatre constantes arbitraires, 

 et deux de ces fonctions dérivent de l'intégration d'une équation de Ric- 

 cati, un peu plus générale que l'ordinaire. 



