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 » Soit ij. = a fof/u — au sin^ — b f — ^» et multiplions(i)parei^(«cos6)~"; 



a, b, n sont des constantes. On trouve que ce multiplicateur est un facteur 

 intégrant de (i), si p vérifie l'équation 



» Si l'on fait a = o, on a de suite les deux premières formules de 

 d'Alembert, suivant que n^\, oun = i. Dans le cas général, en posant 



n^ -■> au^ — ) p ■= yx*~'', on a l'équation 



(2)' ^-+-y^=x-'>-^^bqx'>--..., 



un peu plus générale que l'équation ordinaire de Riccati (è = o), qu'on 

 sait intégrer au moyen de fonctions algébriques et exponentielles lorsque 



q^o, ou- est un nombre impair positif ou négatif. Mais on peut aussi 



intégrer l'équation (2) ou (2)', au moyen des mêmes fonctions, lorsque, 

 h et/: étant deux nombres entiers et positifs (zéro compris), on a è = A — k, 



-= n — rh ( I -I- A + A-) ('). Posons 



F(.,/.«) = i+>^ ,(.,_0(.-2). ..(.-/+.) (.auY 



:1 



{S -^ t) {s -\- t — i) . . .{s -\- t — i + i) 



avec ces conditions : 1° que pour *4-/ = o, ainsi que pour 5 = 0, soit 

 F = I ; 2° que si 5 -t- / est entier et positif, s soit aussi entier et positif et, 

 dans ce cas, le développement de F s'arrête au terme où i = s. Cela posé, 

 l'intégrale de (2) s'obtient eu dérivant logarilhmiquement pir rapport à u 

 l'une ou l'autre des équations suivantes : 



(I) e''^^'"'=e''"F(k, k, -u)-iCe-""F(k.k,u) (b = h- k,n= i + h+k); 



(II) (a»)-"p«J"P'"' = e"" F(A, k, - w ) + Ce""" V{k, h, •<) {b = h - k, n =^- i - h - k) ; 



C est une constante arbitrair*^-. Si h et k sont entiers et positifs, les fonc- 

 tions F sont des polynômes finis. Si b et n ne sont pas compatibles avec h 

 et k entiers et positifs (zéro compris), on aura des séries convergentes, 

 quel que soit m, en prenant (II) lorsque n est positif et en prenant (I) 

 lorsque n est négatif. De cette manière, h -\- k est toujours négatif, et le dé- 

 nominateur en F ne s'annule jamais. 



(') Succi, Su lia inlegrazione di una equazione differenziale, e sulV equazione 

 di Hiccati {Rendiconti délia R. Accademia délie Scienze Fisiche e Matematiche di 

 Napoli, aprile 1901). 



